武汉科技大学_信号与系统习题精解第2章

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1、第2章时域连续信号的频域分析2.1本章要点信号具有时域特性和频域特性，本章讨论信号的频域特性，其目的一是掌握信号频域特性的分析，二是为系统的频域分析方法作准备。从本章开始由时域转入变换域分析，频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。1、信号的正交分解若n个函数g(t),g(t),⋯,g(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t,t)内满足12n12t2∗⎧0i≠j∫gi(t)gj(t)dt=⎨(2-1)t1⎩ki≠0i=j式中，k为一常数。则称此函

2、数集为在区间(t,t)上的正交函数集。在区间(t,t)内i1212相互正交的n个函数构成正交信号空间。当k=1时，上述函数集就称为是归一化正交的。i如果在正交函数集{g(t),g(t),⋯,g(t)}之外，不存在任何函数ϕ(t)(≠0)满足12nt2∗g(t)ϕ(t)dt=0(i=1,2,⋯,n)(2-2)∫it1则称此函数集为完备正交函数集。也就是说，如能找到一个函数ϕ()t使得式(2-6)成立，即ϕ()t与函数集{()}gt的每一个函数都正交，那么它本身就应属于此函数集。显然不包含iϕ()t的集是不完备的。设有n个函数g(t),g(t),⋯,g(t)在区间(t,t)

3、上构成一个正交函数集，将任一函数12n12f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可以表示为：nf(t)≈c1g1(t)+c2g2(t)+⋯+cigi(t)+⋯+cngn(t)=∑cigi(t)(2-3)i=1应选取系数c使得实际函数与近似函数之间误差在区间(t,t)内最小。这里“误差最i12小”不是指平均误差最小，因为平均误差很小甚至等于零时，也可能出现较大的正误差与较大的负误差在平均过程中相互抵消，以致不能正确反映两函数的近似程度。通常选择误差的2均方值最小。误差的均方值也称为均方误差，用符号ε表示：n21t22ε=∫[()ft−∑cgtjj()]dt(2-4)t

4、2−t1t1j=128可求得t2t2ftgtdt()()ftgtdt()()∫ti∫tic=1=1(2-5)itt222*gtdt()gtgtdt()()∫ti∫tii112、周期信号的频谱分析——傅里叶级数2π周期信号()ft，周期为T，基波角频率为Ω=，在满足狄里赫利条件时，可展0T成∞a0ft()=+∑(ancosnΩ+0tbnsinnΩ0t)(2-6)2n=1称为三角形式的傅里叶级数，由正、余弦正交条件及式(2-5)可得三角函数型傅里叶系数：2t0+T直流分量：a=f(t)dt(2-7)0∫Tt02t0+T余弦分量的幅度：a=ft()cosnΩttdn=1,2,

5、3,⋯(2-8)n∫0Tt02t0+T正弦分量的幅度：b=ft()sinnΩttdn=1,2,3,⋯(2-9)n∫0Tt0利用欧拉公式,则得到傅里叶级数的复数形式∞jnΩtft()=∑Fe0(2-10)nn=−∞TF=12fte()−jnΩ0tdt(2-11)n∫TT−2三角函数型和指数型傅里叶系数之间的关系。⎫jϕ⎪F=

6、Fe

7、nnn⎪11⎪⎪22

8、F

9、=A=a+b⎬(2-12)nnnn22⎪⎛b⎞⎪nϕ=−arctan⎜⎟⎪n⎝an⎠⎪⎭a=Acosϕ=F+F⎫nnnn−n⎪⎬(2-13)b=−Asinϕ=jF(−F)⎪⎭nnnn−n2t0+T⎫a=ft()cosn

10、Ωttdn=1,2,3,⋯n∫t0⎪⎪T0⎬(2-14)=2t0+TΩ=⎪bft()sinnttdn1,2,3,⋯n∫t0⎪⎭T029F=A=a(2-15)000以各谐波的振幅A或虚指数信号的幅度

11、F

12、为纵坐标，画出的图形，称之为幅度(或振nn幅)频谱，简称幅度谱。画出各谐波初角ϕ与频率(或角频率)的线图，称之为相位频谱。如n果F是实的，则可以用F的正负来表示ϕ为0或π，这时将幅度谱和相位谱画在一个图上。nnn3、非周期信号的频谱分析——傅里叶变换∞−jtΩ⎫Fj(Ω)=∫fte()dt−∞⎪⎬(2-16)1∞jtΩft()=∫Fj(Ω)edΩ⎪2π−∞⎭前者是由信号的

13、时间函数变换为频率函数，称为傅里叶正变换式；后者是由信号的频率函数变换为时间函数，称为傅里叶反变换式。也可简记为Fj(Ω)={()}ft−1ft()={(FjΩ)}(2-17)或ft()↔Fj(Ω)(2-18)非周期信号的傅里叶变换也应该满足一定的条件才能存在。这种条件类似于傅里叶级数的狄里赫利条件，不同之处仅仅在于时间范围从一个周期扩展为无限区间，条件，即要求信号f(t)在无限区间内绝对可积。但这仅是充分条件，而不是必要条件，自从引入了广义函数的概念以后，对于许多并不满足绝对可积条件的函数(如阶跃信号、符号函数及周期信号等)，其傅里叶变