武汉科技大学_信号与系统习题精解第6章

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1、第6章系统及系统的时域分析6.1学习要点1.系统的分类（1）连续（时间）系统与离散（时间）系统（2）即时系统与动态系统（3）确定性系统与随机性系统（4）单输入-单输出系统与多输入-多输出系统（5）线性系统与非线性系统（6）时变系统与时不变系统（7）因果系统与非因果系统（8）稳定系统与非稳定系统2.线性时不变因果稳定系统的基本特性（1）线性（齐次性、可加性）：αf1(⋅)+βf2(⋅)→αy1(⋅)+βy2(⋅)（6-1）（2）时不变性：f(t−t)→y(t−t)（对连续系统）（6-2）dfdf(k−k)→y(k−k)（对离

2、散系统）（6-3）dfd（3）微积分特性：f'(t)→y'(t)（6-4）fttf(x)dx→y(x)dx（6-5）∫−∞∫−∞f（4）因果性：如果f(⋅)=0，t

3、性（或称时域特性），其主要优点是物理概念清楚。4.LTI系统的数学模型（输入输出方程）一个n阶LTI连续系统，若其激励为f(t)，响应为y(t)，则描述该系统输入输出关系的数学模型是n阶常系数线性微分方程，它可以写为：nm(i)(j)∑aiy(t)=∑bjf(t)（6-6）i=0j=0式中，ai(i=0,1,⋯,n)和bj(j=0,1,⋯,m)都是常数，且an=1。一个N阶LTI离散系统，若其激励为f(n)，响应为y(n)，则描述该系统输入输出关系的数学模型是N阶线性常系数差分方程，它可以表示为：NM∑aN−iy(n−i)

4、=∑bM−jf(n−j)（6-7）i=0j=0式中，a(i=0,1,⋯,N)和b(j=0,1,⋯,M)都是常数，且a=1。ijN5.系统的框图表示表6-1中给出了常用基本运算单元的框图表示符号和系统激励f(⋅)与响应y(⋅)之间的运算关系（箭头表示信号传输的方向）。表6-1常用的系统基本运算单元名称框图符号输入输出关系f(⋅)1+加法器∑y(⋅)y(⋅)=f(⋅)±f(⋅)12±f(⋅)2af(⋅)y(⋅)数乘器y(⋅)=af(⋅)f(⋅)ay(⋅)f1(⋅)乘法器⊗y(⋅)y(⋅)=f1(⋅)⋅f2(⋅)f(⋅)2延时器

5、f(t)Τy(t)y(t)=f(t−T)t积分器f(t)∫y(t)y(t)=∫f(τ)dτ−∞移位器f(n)Dy(n)y(n)=f(n−1)系统的数学模型（即输入输出方程）直接反映系统响应与激励之间的关系，便于数学分析与计算；系统框图除此之外，还以图形方式直观地表现各单元在系统中的地位与作用。两者可146以相互转换，可以从系统方程画出系统框图，也可以由系统框图写出系统方程。6.LTI系统时域分析法主要包含两个方面LTI连续系统分析与离散系统分析在许多方面是相互平行的，它们有许多类似之处。（1）时域经典法：直接求解描述系统的

6、微分（或差分）方程，算出齐次解和特解，从而得到系统的完全响应。这种方法便于从物理概念说明各响应分量之间的关系，但求解过程比较麻烦，在解决具体问题时不宜采用，当学习了变换域分析方法后，很多复杂的计算问题便能迎刃而解。（2）卷积法：利用卷积积分（或卷积和）运算求系统的零状态响应（至于零输入响应可以利用求齐次解的方法得到）。卷积法在连续系统分析中占有比较重要的地位。需要指出：对于LTI离散系统，由于差分方程具有递推关系，利用迭代法可求其数值解。迭代法简单易懂，便于编程实现，但只能得到数值解，不能得到闭式解。7.LTI系统全响应的

7、分解（1）自由响应与强迫响应（从微分方程经典解求解规律考虑）根据时域经典法，微分（或差分）方程的全解由齐次解和特解组成。从系统分析的角度来说，齐次解y(⋅)的形式仅依赖于系统本身的特性，与激励f(⋅)的函数形式无关，可称为自由h响应或固有响应，表示系统特性的特征方程的根称为系统的固有频率或自由频率，它们决定了系统自由响应的全部形式；而特解y(⋅)的形式是由激励信号f(⋅)决定的，故称为是强迫响应。p从而，系统的全响应可分解为自由响应和强迫响应两种分量，即：y(⋅)=yh(⋅)+yp(⋅)（6-8）（2）瞬态响应与稳态响应（

8、从t或n→+∞的状态考虑）对于一个稳定的系统，自由响应必定随着时间的增长而逐渐趋于零。强迫响应则根据激励函数的性质可能随时间的增长趋于零，也可能趋于稳定，或者两者皆有。系统响应中随着时间增长而趋于零的部分称为瞬态响应；随着时间增长趋于稳定的部分称为稳态响应。可见，系统的全响应可以又分解成瞬态响应和稳态响