武汉科技大学_信号与系统习题精解 第5章

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1、第5章离散傅里叶变换和快速傅里叶变换5.1学习要点1.离散傅里叶变换（DFT）的定义有限长序列的N点离散傅里叶变换的定义为：(5-1)离散傅里叶逆变换（IDFT）的定义为：(5-2)2.DFT的物理意义以看作序列的Z变换在Z平面单位圆上的N点等间隔采样值。(5-3)也可以看作序列的傅里叶变换在区间［0,2π］上的N点等间隔采样。(5-4)3.DFT的基本性质表5-1列出了DFT的一些基本性质，表中所有序列长度以及DFT变换区间长度均为N。表5-1DFT的基本性质序号序列离散傅里叶变换备注12、为任意常数3对称定理4时间反转定理5时域循环移位定理6频域循环移位定理

2、7时域循环卷积定理1318频域循环卷积定理910111213141.频域采样定理如果序列长度为，则只有当频域采样点数时，才能由频域采样恢复出和，否则产生时域混叠失真，无法由得到。2.快速傅里叶变换（FFT）（1）算法FFT算法的基本思想就是将长序列的DFT分解成几组短序列的DFT，并且利用权函数的对称性和周期性减少运算量。（2）按时间抽取的基2FFT算法在将长序列的DFT分解时都是有规律地按输入序列在时域上的偶、奇次序来抽取。8点FFT时间抽取算法运算流图如图5-1所示。图5-18点FFT时间抽取算法运算流图131在FFT运算流图中每一级里的基本运算单元是蝶形运

3、算如图5-2所示。图5-2第m级蝶形运算蝶形运算的基本关系式为：(5-5)按时间抽取的基2FFT算法特点：蝶形运算互为独立单元，同一个存贮单元可以实现就地存贮输入、输出数据，即同址运算；序列的DFT输出如果按自然顺序排列，则输入的数据就必须是倒位序。点按时间抽取的基2FFT算法运算量为：复数乘法数：(5-6)复数加法数：(5-7)直接计算DFT与按时间抽取的基2FFT算法计算量之比为：(5-8)（3）按频率抽取的基2FFT算法每一级的处理都是在频域里把序列分解为奇与偶的形式来进行计算。8点FFT频率抽取算法运算流图如图5-3所示。图5-38点FFT频率抽取算法运

4、算流图131按频率抽取的基2FFT算法蝶形运算关系复数乘法出现于减法运算之后，这是与按时间抽取的基2FFT算法的不同之处。（4）快速傅里叶反变换（IDFT）与DFT的差别仅在于：权函数与的指数仅差一个负号；相差一个比例因子。则IDFT可表示为：(5-9)可以用FFT算法来计算IDFT。1.FFT的应用举例（1）利用FFT计算线性卷积用FFT计算线性卷积的方法：1）对长度分别为、的有限长序列、作补零延长序列处理，分别补、个零值，其中，并以L为周期进行周期延拓；2）作与的L点FFT与；3）求得；4）求得的L点IFFT，即；5）此时，。用分段卷积计算长序列卷积是一种有

5、效的计算手段，可分为重叠相加法和重叠保留法。用FFT法实现重叠相加法的步骤：1)计算的N点FFT，；2)计算的N点FFT，；3)将和相乘，；4)计算的N点IFFT，；5)将各段（包括重叠部分）相加。（2）利用FFT对信号进行谱分析连续信号的频谱特性可以通过对连续信号采样并进行DFT，再乘以T的近似方法得到。根据DFT的物理意义，如果有限长序列的长度为M，则该序列的N（M≤N131）点DFT就是其频率函数在频率区间[0，2]上的N点等间隔采样。所以离散信号的频谱特性可以通过DFT得到。5.2精选例题例5.1若为纯虚序列，，分解为实部与虚部写作。试证明是的奇

6、函数，是的偶函数。解：由于是纯虚序列，故可表示为,为实序列。根据定义式其中故是的奇函数。而故是的偶函数。例5.2设为一有限长序列，当和时，，且N等于偶数。已知131，试利用来表示以下各序列的DFT：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)。解：(1)(2)131(1)(2)131(1)(2)(3)例5.3已知是实序列，其8点DFT的前5点值为：{0.25，0.125－j0.3，0，0.125－j0.06，0.5}，试求：（1）8点DFT的后3点值；（2）如果，求出的8点DFT值。解：（1）因为是实序列，则其DFT只具有共轭对称分量，其8点DFT的后

7、3点值分别为：0.125+j0.06，0和0.125+j0.3(2)根据DFT的循环移位定理131得的8点DFT值为：0.25，0.3+j0.125，0，-0.06-j0.125，0.5，-0.06+j0.125，0，0.3-j0.125。例5.4有限长序列的N点离散傅里叶变换相当于其Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。希望求出在半径为r的圆上的N点等间隔采样，即试给出一种用DFT计算得到的方法。解：因为所以即先对乘以指数序列，然后再进行N点DFT即可得到题中所要求的复频域采样。例5.5画出N=16的FFT按时间抽取算法运算流图，输入序列按码位倒置顺序排列，输出为

8、自然顺序排列。解：输入序