武汉科技大学_信号与系统习题精解第4章

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1、第4章时域离散信号的频域分析4.1学习要点1.z变换的定义序列x(n)的z变换定义为：∞−nX(z)=ZT[x(n)]=∑x(n)z(4-1)n=−∞单边z变换定义为：∞−nXI(z)=∑x(n)z(4-2)n=0对因果序列，单边z变换与双边z变换相等。2.z变换的收敛域并不是所有序列的z变换对所有z值都是存在的。序列的z变换存在，就必须有∞−n∑

2、x(n)z

3、<∞(4-3)n=−∞jω又因为z=re，则要求∞−n∑

4、x(n)r

5、<∞(4-4)n=−∞根据罗朗级数的性质，z变换的收敛域一般是某个环域：R<

6、z

7、

8、可以大到∞。求序列的z变换，必需给出收敛域，因为不同序列的z变换可x+能相同，但收敛域不同。讨论z变换的收敛域问题不仅涉及z变换的存在性和惟一性，而且由收敛域的形态，可大致推断出其对应信号的类型，归纳于表4-1中。表4-1序列类型与收敛域的对应关系序列类型nn收敛域12n≥0n>0

9、z

10、>012有限长序列n<0n≤0

11、z

12、<∞12n1<0n2>00<

13、z

14、<∞右边序列n<0n=∞Rx<

15、z

16、<∞12−73n1≥0n2=∞

17、z

18、>Rx−n1=−∞n2>00<

19、z

20、

21、z

22、

23、z

24、

25、反变换已知X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称为z反变换。z反变换的定义为：1n−1x(n)=X(z)zdz,c∈(R,R)(4-5)∫cx−x+2πjc为X(z)收敛域内环绕原点的一条逆时针闭合围线。直接计算围线积分是比较麻烦的，一般采用幂级数展开法、留数法和部分分式展开法。（1）幂级数展开法幂级数展开法，又叫长除法。根据z变换的定义，可用长除法将X(z)展开为幂级数形式，其系数就是相应的原序列的值。幂级数展开法的一般步骤：①根据收敛域确定对应的序列是因果序列还是反因果序列；②若为因果序列，可将X(z)展成负幂级数（分子、分母也按z的降幂排列），若

26、为反因果序列，可将X(z)展成正幂级数（分子、分母也按z的升幂排列）；③总结序列的规律。（2）留数法对于有理z变换，式(4-5)的围线积分可用留数定理来计算。设在有限的z平面上，n−1n−1{a}(k=1,2,⋯,N)是X(z)z在围线c内部的极点集，{b}(k=1,2,⋯,N)是X(z)zkk在围线c外部的极点集。根据柯西留数定理，有Nn−1x(n)=Res[X(z)z,a](4-6)∑kk=1或Mn−1x(n)=−Res[X(z)z,b](4-7)∑kk=1围线c内的极点一般对应于一个因果序列，而c外的极点对应于一个反因果序列，因此当n≥0时，使用式(4-6

27、)；当n<0时，使用式(4-7)。n−1如果X(z)z是z的有理函数，且z=z处有m阶极点，即074n−1ψ(z)X(z)z=(4-8)m(z−z)0n−1式中，ψ(z)在z=z处无极点，那么X(z)z在z=z处的留数可用下式计算00m−1n−11⎧d[mn−1]⎫Res[X(z)z,z0]=⎨m−1(z−z0)X(z)z⎬(4-9)(m−1)!⎩dz⎭z=z0（3）部分分式展开法同拉普拉斯反变换一样，z反变换也可使用部分分式展开法来求取原序列。其主要思想依然是将有理分式的象函数分解为基本己知序列的象函数之和，从而求出原序列。若X(z)为两个多项式P(z)和Q(

28、z)的比，设P(z)和Q(z)的阶次分别为M和N。当M

29、(4-11)kkz=dk如果M≥N，则X(z)可展开成如下形式：NA−(M−N)−(M−N−1)−1kX(z)

30、=BM−Nz+BM−N−1z+⋯+B1z+B0+∑−1k=11−dkz(4-12)M−NN−nAk=∑Bnz+∑−1n=0k=11−dkz式中，B可直接用长除法得到，A仍由式(4-11)求得。如果X(z)具有多阶极点，则需要对nk式(4-12)进行修正，设X(z)在z=d1处有一m阶的重极点，其余为单极点，X(z)可展为：M−NmN−nBkAkX(z)=∑Bnz+∑−1k+∑−1(4-13)n=0k=1(1−d1z)k=m+11−dkz其中，A,⋯,A计算同上。B为：m+1Nk75m−k1⎡d−1m⎤B=⋅(1−dz)X(z)(4-14)k⎢m−k1⎥(m−k)

31、!⎣dz⎦z=d1部分分