高一数学教案：正切函数的图象和性质.docx

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1、正切函数的图象和性质（一）教材分析：学习正切函数的图象和性质，主要包括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，以及具体的应用。（二）素质教育目标：1.知识目标：（1）用单位圆中的正切线作正切函数的图象；（2）用正切函数图象解决函数有关的性质；2.能力目标：（1）理解并掌握作正切函数图象的方法；（2）理解用函数图象解决有关性质问题的方法；3.德育目标：培养研究探索问题的能力；（三）教学三点解析：1.教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；2.教学难点：性质的研究；3.教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并非整

2、个定义域内的增函数；（四）教学过程设计1．设置情境前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。2．探索研究由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制ytanx图象．（1）用正切线作正切函数图象○1分析一下正切函数ytanx是否为周期函数？f(x)tan(xsin(x)sinx))tanxf(x)cos(xcosx∴ytanx是周期函数，是它的一个周期．第1页共5页我们还可以证明，是它

3、的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数ytanx，x,的图象．22作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆．②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．③描点。（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）．④连线．图1根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数ytanx，(xR,xk,kZ)的图象，并把它叫做正切曲线（如图1）．2图2第2页共5页（2）正切函数的性质请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质

4、：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．①定义域：x

5、xk,kZ2②值域：R③周期性：正切函数是周期函数，周期是．④奇偶性：tan(x)tanx，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O对称．⑤单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(k,k),kZ内都是22增函数．强调：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数b.正切函数在每个单调区间内都是增函数c.每个单调区间都包括两个象限：四、一或二、三3．例题分析【例1】求函数ytan(x)的定义域．4分析：我们已经知道了ytanz的定义域，那么ytan(x)与ytanz有

6、什么关4系呢？令zx，我们把ytan(x)说成由ytanz和zx复合而成。此时444我们称ytan(x)为复合函数，而把ytanz和zx为简单函数44解：令zx，那么函数ytanz的定义域是z

7、zk,kZ42由xzk，可得xk424所以函数ytan(x)的定义域是{x

8、xk,kZ}44第3页共5页解题回顾：这种解法可称为换元法，因此复合函数可通过换元法来求得。练习1：求函数ytan(2x)的定义域。（学生板演。）4【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：（1）与；（2）tan(11)与tan(13)．4

9、5分析：比较两个正切函数值的大小可联想到比较两个正、余弦函数值的大小。比较两个正、余弦函数值的大小是利用函数的单调性来比较。注意点是应把相应的角化到正或余弦函数的同一单调区间内来解决．类比得到比较两个正切函数值的大小的解法解：（1）90167173180又∵ytanx，在(90,270)上是增函数∴tan167tan173（2）∵tan(11)tan11＝tan444tan(13)tan13tan2555又∵0＜＜2＜，函数ytanx，x,是增函数，45222∴tan＜tan2即tan(11)tan(13)．4545解

10、题回顾：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到ytanx的同一单调区间内，利用ytanx的单调递增性来解决．练习2：比较大小：第4页共5页(1)tan138_____tan143（学生口答）（＜）(2)tan(13)_____tan(17)（学生板演）（＞）45【例3】求f(x)tan2x的周期3．总结提炼（1）这节课我们采用类比的思想方法来学习正切函数的图象和性质（2）正切函数的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得一个周期上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。（3）正切函数的性质．4.布置作业

11、：作业：苏大资料“12.正切函数的图象与性质”.第5页共5页