现代控制理论控制系统状态空间表达式的解ppt课件.ppt

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1、第二章控制系统状态空间表达式的解本章要点：状态转移矩阵§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）一．零输入响应系统的状态方程为当系统输入为零时，系统状态方程为齐次方程：齐次方程的解就是由初始状态引起的自由运动，称为自由解，又称为零输入响应。§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）结论：设（2－1）式中，为n维向量，A为n×n维常阵。定义n×n的矩阵指数函数：则（2－1）式所描述的线性定常系统的零输入响应为：证明：令方程（2－1）的解为系数向量待定的一个幂级数，即其必满足方程（2－1）

2、，将上式代入方程（2－1）可得§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）比较可得：代入（2－2）式可得：由初始条件：可得：，故§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）线性定常系统零输入响应的几点说明：1).如果t取某个固定值，零输入响应就是状态空间中由初始状态经线性变换阵所导出的一个变换点。系统的自由运动就是由初始状态出发，并由各个时刻的变换点所组成的一条轨线。2).零输入响应轨线的形态由矩阵指数函数唯一地确定；3).线性定常系统渐进稳定的充要条件是：(系统渐进稳定的条件是：当时，自由运动的轨迹将趋于系统的平衡状态，即状态空

3、间的原点)4).求解零输入响应的核心是计算矩阵指数函数。§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）二．矩阵指数函数的性质和计算方法1.矩阵指数函数的性质由矩阵指数函数的定义：可得以下一些基本性质：①§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）证明：③矩阵指数函数的逆：证明：因为所以②令和为两个自变量，则必成立：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）④矩阵指数函数对t的导数为：证明：⑤设有n×n维常阵A和B，如果A和B是可交换的，即AB=BA，则必成立：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）而因此：证明：§2－1线性定常齐

4、次状态方程的解（自由解）2.矩阵指数函数的计算方法方法一：根据的定义直接计算。方法二：将A阵化为对角标准型或约当标准型求解1.A的特征值为两两互异若A的n个特征值两两互异，则在求出使A阵实现对角化的变换阵后，即有指数函数矩阵：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）证明：由可得证毕。§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）2.A的特征值存在重根若A的n个特征值为：，则在求出使A阵为约当标准型：其中：为阵的变换阵后，即有指数函数矩阵：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）其中证明：证明的思路与1相同。由可得§2－1线性定

5、常齐次状态方程的解（自由解）证明：由指数函数矩阵的定义有：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）而§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）方法三：拉氏变换法证明：由指数矩阵的定义：对上式取拉氏反变换：得证。§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）方法四：应用凯莱－哈迷尔顿定理将表示为一个多项式若A的特征值两两互异，则多项式的系数可按下式计算：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）其中：若A的n个特征值为：，则系数可按下式计算：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）证明：1.凯莱－哈迷尔顿定理设，其特征多项式为：

6、则矩阵A必满足其特征多项式，即由凯莱－哈迷尔顿定理可表示为的线性组合,即进而有：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）这样均可表示为的线性组合。故有：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）若A的特征值两两互异，则有因此：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）即:§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）比较等式两边可得写成矩阵形式：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）即有：对于有重根的情况，可类似地方法证明。得证。§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）例设系统矩阵为：按照矩阵指数函数的定义和拉氏变换法求。

7、解：（1)用定义计算§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）（1)用拉氏变换法计算由§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）解：矩阵A的特征方程为解得系统特征根为：化A为约当标准型的变换阵为：例用标准型法计算系统矩阵的矩阵指数函数§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）于是：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）解：矩阵A的特征方程为解得系统特征根为：例用凯莱－哈密尔顿法计算系统矩阵的矩阵指数函数§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）于是：§2－2状态转移矩阵一.状态转移矩阵的定义定义：对于给定的线性定常系统其中

8、，x为n维状态向量，称满足如下矩阵方程的n×n解阵为系统的状态转移矩阵。求解矩阵微分方程可得，状态转移矩阵为：当时，状态转移矩阵可表示为§2－2状态转移矩阵l.系统的零输入响应可用状态转移矩阵表示：或2.状态转移矩阵的物理意义：状态转移矩阵实质上就等于矩阵指数函数，之所以将矩