最新控制系统状态空间表达式的解课件PPT.ppt

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1、控制系统状态空间表达式的解概述(1/4)概述建立了系统的数学描述之后,接着而来的是对系统作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。定性分析主要包括研究系统的结构性质,如能控性、能观性、稳定性等。概述(2/4)本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题,即状态空间模型--状态方程和输出方程的求解问题。根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微分方程组,通常是很容易的。可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易事。状态转移矩阵的引入,从而使得定常

2、系统和时变系统的求解公式具有一个统一的形式。为此,本章将重点讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法,并在此基础上导出状态方程的求解公式。线性定常连续系统状态方程的解(2/3)在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的自由(自治)运动。所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用,状态方程解对输入具有非齐次性。研究

3、非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫运动。线性定常连续系统状态方程的解(3/3)下面,将依次分别讨论:齐次状态方程的解线性定常连续系统的状态转移矩阵线性定常连续系统非齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解(1/2)2.1.1线性定常齐次状态方程的解什么是微分方程的齐次方程?齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方程x’=Ax齐次状态方程满足初始状态的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强迫项

4、(无外力)时的自由运动。线性定常齐次状态方程的解(2/2)对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有级数展开法和拉氏变换法2种。级数展开法(1/5)1.级数展开法在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常微分方程在初始时刻t0=0的解。该方程中x(t)为标量变量,a为常数。由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。级数展开法(2/5)将所设解代入该微分方程,可得如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使t有相同幂次项

5、的各项系数相等,即可求得令x(t)的解表达式中t=0,可确定q0=x(0)因此,x(t)的解表达式可写为级数展开法(3/5)上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态方程的解。为此,设其解为t的向量幂级数,即x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+…式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数向量。将所设解代入该向量状态方程x’=Ax,可得q1+2q2t+3q3t2+…+kqktk-1+…=A(q0+q1t+q2t2+…+qktk+…)如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使t有相

6、同幂次项的各项系数相等,即可求得级数展开法(4/5)若初始时刻t0=0,初始状态x(0)=x0,则可确定q0=x(0)=x0因此,状态x(t)的解可写为该方程右边括号里的展开式是n×n维矩阵函数。由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所以称为矩阵指数函数,且记为级数展开法(5/5)利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写为：x(t)=eAtx0拉氏变换法(1/9)2．拉氏变换法若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换,

7、那么可利用拉氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程的解。对该齐次状态方程x’=Ax,设初始时刻t0=0且初始状态x(0)=x0,对方程两边取拉氏变换,可得sX(s)-x0=AX(s)于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为X(s)=(sI-A)-1x0拉氏变换法(2/9)对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]。主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推广至矩阵函数中。对标量函数,我们有拉氏变换法(3/9)将上述关系式推

8、广到矩阵函数则有其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有拉氏变换法(4/9)因此,基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换,该齐次方程的解为x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0=eAtx0上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法求解结果一致。若初始时刻t00,对上述齐次状态方程的解作坐