状态空间表达式解课件.ppt

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1、第2章控制系统状态空间表达式的解2.1线性定常连续系统齐次状态方程的解2.6线性离散系统状态方程的解2.2线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法2.3线性定常连续系统非齐次状态方程的解2.4线性时变连续系统状态方程的解2.5线性连续系统状态方程的离散化2.1线性定常连续系统齐次状态方程的解2.1.1齐次状态方程的解u=0X(t0)=X0X=AXt0=0·1、直接求解设n=1x=ax·解为x(t)=eatx0且eat=1+at+a2t2/2！+…对于n阶，解为X(t)=eAtX0eAt=I+At+A2t2/2！+…矩阵指数函数

2、证明：设X(t)解的形式为X(t)=b0+b1t+b2t2+…+bktk+…代入状态方程b1+2b2t+3b3t2+…+kbktk–1+…=A(b0+b1t+b2t2…+bktk+…)b1=Ab0b2=Ab1=A2b01212!b3=Ab2=A3b01313!bk=Abk–1=Akb01k1k!2.1.1齐次状态方程的解b1=Ab0b2=Ab1=A2b01212!b3=Ab2=A3b01313!bk=Abk–1=Akb01k1k!令t=0，X(t)=b0+b1t+b2t2+…+bktk+…，X(0)=b0=X0将上述结果代入

3、X(t)X(t)=(I+At+A2t2/2！+…)X0=eAtX0若t00，则X(t)=eA（t–t0)X(t0)2、拉氏变换法求解SX(S)–X(0)=AX(S)(SI–A)X(S)=X0X(S)=(SI–A)–1X0对X=AX取拉氏变换·对上式取拉氏反变换X(t)=L–1[(SI–A)–1]X0=eAtX0X(t)=eAtX02.1.1齐次状态方程的解记为:(t)=eAt(t–t0)=eA（t–t0)状态方程解：X(t)=(t)X0X(t)=(t–t0)X(t0)状态转移曲线eA（t1–t0)X(t0)X(t0

4、)X(t1)X(t)t0t12.1.2状态转移矩阵状态转移矩阵满足的条件：(t–t0)=A(t–t0)·(0)=IeAt=L–1[(SI–A)–1]X(t)=eA（t–t0)X(t0)状态转移矩阵：eA（t–t0)或eAt2.1.2状态转移矩阵1、状态转移矩阵的性质：设t0=0（1）(0)=I根据定义得证eAt=I+At+A2t2/2！+…（2）(t)=A(t)=(t)A·证明：根据定义(t)=eAt=I+At+A2t2/2！+…(t)=A+2A2t/2!+…kAktk–1/(k)！+…·=A(I+At+…

5、Ak–1tk–1/(k–1)！+…)=A(t)=(t)A（3）(t1+t2)=(t1)(t2)证明:(t1+t2)=eA(t1+t2)=I+A(t1+t2)+A2(t1+t2)2/2！+…=(I+At1+A2t12/2！+…)(I+At2+A2t22/2！+…)=(t1)(t2)（4）[(t)]–1=(–t)证明：由（3）(t1+t2)=(t1)(t2)证明:得(t–t)=(t)(–t)=I（1）(0)=I(–t+t)=(–t)(t)=I所以[(t)]–1=(–t)（5）(t2–

6、t1)(t1–t0)=(t2–t0)右式=(t2–t1+t1–t0)由（3）得=(t2–t1)(t1–t0)[(t)]k=(t)(t)…(t)=eAteAt…eAt=e(A+A+A…A)t=ekAt=(kt)（6）[(t)]k=(kt)1、状态转移矩阵的性质：设t0=0（7）对于n×n阶A和B阵，如果满足AB=BA，则e(A+B)t=eAteBt2、几个特殊状态转移矩阵的性质（1）若A为对角线矩阵100…0020…0…………000…nA=则(t)=eAt=e1t00…00e2t0…0………

7、…000…ent1、状态转移矩阵的性质：设t0=0证明：将对角线矩阵A代入eAt=I+At+A2t2/2！+…中eAt=100…0010…0…………000…11t00…002t0…0…………000…nt++1/2！12t200…0022t20…0…………000…n2t2+…证明：1+1t+12t2/2！+…1+2t+22t2/2！+…1+nt+n2t2/2！+…00…==e1t00…00e2t0…0…………000…ent（2）若A为m×m约当块110…0011…0…………000…1A=则

8、eAt=e1t1tt2/2！…tm–1/（m–1）！01tt2/2！…tm–2/（m–2）！…000…01例：已知齐次状态方程X=AX的状态转移矩阵为·(t)=2e–t–2e–2te–t–e–2t–2e–t+2e–2t–e–t+2e–2t求[(t)]–1解：根据（4）[(t)]–1