状态空间表达式的解

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1、第2章状态空间表达式的解第1节线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解为式中，证明：用拉普拉斯变换法。对作拉氏变换，得因为故顺便可知第2节矩阵指数函数1、的定义和性质（1）定义式中—线性定常系统系统矩阵，阶；—矩阵指数函数，阶时变矩阵。若中各元素均小于某定值，必收敛；若为实矩阵，绝对收敛。（2）基本性质：◆组合性质：其中为相衔接的两时间段。推论1：推论2：◆微分性质：◆当A、B两阵可交换，即，则◆若存在，则2、的计算（1）级数计算法（2）拉氏变换法当A阵维数较高时，预解矩阵可采用递推法计算。（3）多项式表示法若

2、的特征根，，…,两两互异，则（4）非奇异变换法1）设的特征根，，…,两两互异，则其中P满足推论：若，则2）设为具有共轭复特征根的二阶阵，则其中P满足（模态规范型）。证明：因与可交换，故而故再由即得所证。第3节状态空间表达式的解1、线性定常系统状态空间表达式的解设线性定常系统，可以证明，状态方程的解为其中——自由响应，只与和A有关。——强迫响应，与和A,B有关。系统的输出2、阶跃输入下状态方程的的解设，，为与同维的常数向量，则3、状态转移矩阵又称作状态转移矩阵，常记为。使用该符号，线性定常系统状态方程的解可表为若，则，且

3、采用符号，主要是便于时变系统状态转移矩阵的表述。第5节线性时变连续系统运动分析线性时变连续系统，，设在域内，和的元素是的分段连续函数，以保证上述状态方程解的存在性和唯一性。1、线性时变连续系统状态方程的解回顾：线性定常连续系统状态方程解式中，——状态转移矩阵。其满足如下两式比照定常系统，可写出线性时变连续系统状态方程的解为式中，——线性时变连续系统的状态转移矩阵，具有性质：2、的计算时变系统的状态转移矩阵与定常系统的在形式上和某些性质上类似，但二者有本质的区别。主要区别是：◆只是时间差的函数，与无关，而是和的二元函数；

4、◆一般可写出闭合表达式，而除极简单的情况外，往往难以得到其闭合表达式。可采用级数近似法计算，即注意：对定常系统有而对时变系统，一般。可以证明，当且仅当与满足关系式或成立时，才有时变系统求解一般采用数值方法。【例】求如下时变系统状态方程的解解：因即有等式成立，故状态转移矩阵状态方程的解为第6节状态方程的数值解法1、状态方程的数值解法的概念不是所有的状态方程都存在解析解，数值解更具有普遍性。状态方程的数值求解实际上就是一阶微分方程组初值问题的数值求解。状态方程的数值积分解法如：改进欧拉法；龙格－库塔法；基尔法；特雷纳法等。

5、后两种方法可用于刚性微分方程组（，，，为A阵特征根）求解。数值积分解法分类:单步/多步；显式/隐式;定步长/变步长。计算误差：截断误差（算法）+舍入误差（字长）积累误差（算法，字长，计算时间）同一问题，采用不同的数值解法或步长，求解效率甚至数值解结果可能有较大差异，甚至出现数值不稳定问题。2、四阶龙格－库塔（Runge-Kutta，RK）法属于定步长显式单步（自启动）解法。对状态方程,设（，为计算步长。四阶龙格－库塔法由求取的算式为：其中3、特雷纳（Treanor）法对状态方程,若雅克比矩阵的特征值具有如下特性：，则称

6、此状态方程为刚性（或病态）的。特雷纳法是求解刚性方程的一种方法。设（，为计算步长。特雷纳法求取时刻状态变量数值的算式为：其中其中，可见，当时，特雷纳法便退化为四阶龙格－库塔法。对刚性方程，特雷纳法与四阶龙格－库塔法具有相同的精度，但稳定范围较后者为宽。从而可选取较大的计算步长。4、四阶/五阶龙格－库塔－菲尔贝格（Runge-Kutta-Felhberg,RKF）法对状态方程,设（，为当前的计算步长。RKF法在一个步长内对右函数进行6次求值，以保证更高的精度和数值稳定性。采用RKF求取时刻状态变量数值的算式为：式中若在上

7、述定步长算法的基础上，引入误差量控制当前的计算步长，便形成了自适应变步长RKF法。在上式中第4节系统响应的特征结构（自学）1、左、右特征向量设A具有个互异特征根。◆右特征向量满足即的维非零列向量称为A阵属于特征根的右特征向量（或列特征向量）。◆左特征向量满足即的维非零行向量称为阵属于特征根的左特征向量（或行特征向量）。◆左、右特征向量的关系由前已知式中为右特征向量矩阵。对上式两边右乘，得记则有这表明，右特征向量矩阵逆矩阵的行向量即是A阵的左特征向量。由可知左、右特征向量具有如下关系注意：在上列表达式中，，。2、系统响应

8、的特征结构◆一般分析由前已知，若的特征根，，…,两两互异，则其中V是特征向量矩阵，。上式可写为故有将其代入得上式表明，系统响应与特征根和特征向量都有关。◆自由响应分析自由响应向量中的为数量，其对应于由所激发的第i个模态的总强度，右特征向量则描述第i个模态的总强度在各状态变量上的权重分布情况。记则的第j个状态变量为若，为衰减或发散的