现代控制理论控制系统状态空间模型课件.ppt

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1、现代控制理论第一章控制系统的状态空间模型§1-1状态及状态空间表达式§1-2由微分方程求状态空间表达式§1-3由传递函数求状态空间表达式§1-4状态方程的线性变换§1-1.状态及状空间表达式在现代理论当中，由于引入了状态变量，从而形成了一整套新的理论。它的数学模型就是状态空间表达式。一.状态及状态空间1.状态：什么叫系统的状态呢？定义：能够完全描述系统时域行为的一个最小变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为系统的状态变量。注意：﹡完全描述：若给定t=t0时刻这组变量的值（初始状态）又已知t≥t0时系统的输入u(t)，则系统在t≥t0时，任何瞬时的行为就完全

2、且唯一被确定。﹡最小变量组：即这组变量应是线性独立的。例：RC网络如下图所示，试选择系统的状态变量u(t)RC2C1C3i1i2i3在t=t0时，若已知uc1(t0),uc2(t0),uc3(t0)和u(t),则可求得输出y(t),(t≥t0)故可选uc1(t),uc2(t),uc3(t)作为状态变量。但因uc1+uc2+uc3=0显然他们是线性相关的，因此，最小变量组的个数应是二。一般的：状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数=系统的阶数﹡状态变量是具有非唯一性的：如上例中，最小变量组是2个独立变量，可在uc1,uc2,uc3中任选2个，选法不唯一。3.状态空间：定义：由系统

3、的n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状态空间。引入状态空间，即可把n个状态变量用矢量形式表示出来，称为状态矢量又表示为：x(t)∈Rn[x(t)属于n维状态空间]4.状态轨线：定义：系统状态矢量的端点在状态空间中所移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态随时间变化的规律。例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是x10,x20,x30。在u(t)作用下，系统的状态开始变化，运动规律如下：引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了系统在某时刻的状态。二.状态空间表达式它是一组一阶微分方程组和代数方程组成，分别表示系统内部和外部行

4、为，是一种完全描述。1.建立方法：例1-1.试建立机械位移系统的状态空间表达式.y(t)F(t)Kf弹簧-质量-阻尼器系统解：列基本方程：选择状态变量：取：故得：将以上方程组写矩阵形式即系统的完整描述，必须具有两部分内容，前者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统内部运动与外部的联系。结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法1.首先根据基本规则列基本方程；2.选择系统的状态变量；（按状态定义选）3.列写系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。2.一般形式：对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输入，m个输出）多输入多输出系统对象输出元件u1u2urx1x2xny1y2

5、ym其中：C-输出矩阵m×n阶常数矩阵D-直连矩阵m×r阶常数矩阵3.一般线性时变系统：区别在于：上述矩阵是时间t的函数(变系数微分方程)4.非线性定常系统:6.线性系统状态空间表达式的简便写法：对任意阶次的线性系统，其状态空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示:∑=(A,B,C,D)——定常∑=(A(t),B(t),C(t),D(t))——时变5.非线性时变系统：三.线性系统的结构图根据线性系统的状态空间表达式的一般形式：按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性系统可用这种图形象的表达出来。A(t)D(t)C(t)B(t)∫dt++++XY(

6、t)u(t)结构图：在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图例：单输入－单输出系统a11c1b1b2a22a21a12c2∫dt∫dt+++++x1x2y由图可见，无论系统阶次多高，按图都完全可用模拟计算机模拟。所以上图又称计算机模拟图。下面举例说明：例：试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表达式，并画出其结构图。MRauaLaiaUf=constEaJ:电动机轴上的转动惯量f:负载的阻尼摩擦性质解：由基本规律列写原始方程：电路方程：选状态变量:故得状态方程：而输出方程为：最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图11+++u(t)x1x

7、2x3++Y(t)小结：状态空间表达式以状态变量为基本出发点，阐明了状态变量对系统的影响，比简单的输入—输出描述更近了一步。1.把输入到输出的控制过程分成了两阶段：即u(t)状态方程输出方程x(t)Y=CX+DuY(t)2.状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯一。3.由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个数相对立，一般取储能元件的变量作为状态变量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。4.状态空间表达式地数学模型形式不随变量的增加变