控制系统状态空间模型

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1、《现代控制理论》（下部）第一章第一章控制系统的状态空间模型1.1引言工程系统正朝着更加复杂的方向发展，这主要是由于复杂的任务和高精度的要求所引起的。一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合,可能是时变的。由于需要满足控制系统性能提出的日益严格的要求，系统的复杂程度越来越大，为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算,并且要求能够方便地用大型计算机对系统进行处理。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。大约从1960年升始发展起来。这种新方法是建立在状态概念之上的。状态本身并不是一个新概念，

2、在很长一段时间内，它已经存在于古典动力学和其他一些领域中。经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。本课程将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。本章将首先给出状态空间方法的描述部分。将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系统在内的

3、状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、对角线、Jordan、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用MATLAB进行各种模型之间的相互转换。第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。第三章将给出系统的稳定性分析。第四章将给出几种主要的设计方法。本章1.1节为控制系统状态空间分析的引言。1.2节介绍状态空间描述1.3节讨论动态系统的状态空间表达式。1.4状态空间表达式的标准形式。1.5介绍系统矩阵的特征值基本性质.1.6讨论用MATLAB进行系统模型的转换问题。1.2控制系统的状态空间描述状态空间描述是60年代初，将力学中的相空间法引入到控制

4、系统的研究中而形成的描述系统的方法，它是时域中最详细的描述方法。特点：1.给出了系统的内部结构信息.2.形式上简洁,便于用数字计算机计算.1.2.1状态的基本概念在介绍现代控制理论之前，我们需要定义状态、状态变量、状态向量和状态空间。18《现代控制理论》（下部）第一章状态：动态系统的状态是系统的最小一组变量(称为状态变量)，只要知道了在时的一组变量和时的输入量，就能够完全确定系统在任何时间时的行为。状态这个概念决不限于在物理系统中应用。它还适用于生物学系统、经济学系统、社会学系统和其他一些系统。状态变量：动态系统的状态变量是确定动态系统状态的最小一组变量。如果至少需要n个

5、变量才能完全描述动态系统的行为(即一旦给出时的输入量，并且给定时的初始状态，就可以完全确定系统的未来状态)，则这n个变量就是一组状态变量。状态变量未必是物理上可测量的或可观察的量。某些不代表物理量的变量，它们既不能测量，又不能观察，但是却可以被选为状态变量。这种在选择状态变量方面的自由性，是状态空间法的一个优点。状态向量：如果完全描述一个给定系统的行为需要n个状态变量，那么这n个状态变量可以看作是向量X的n个分量，该向量就称为状态向量。状态向量是这样一种向量，一旦时的状态给定，并且给出时的输人，则任意时间时的系统状态便使可以唯一地确定。状态空间：由n个状态变量所张成的n维

6、欧氏空间，称为状态空间。任何状态都可以用状态空间中的一点来表示。1.2.2状态空间方程在状态空间分析中，涉及到三种类型的变量，它们包含在动态系统的模型中。这三种变量是输入变量、输出变量和状态变量。在后面的分析中我们将会看到，对于一个给定的系统，其状态空间表达式不是唯一的。但是，对于同一系统的任何一种不同的状态空间表达式而言，其状态变量的数量是相同的。动态系统的状态常常直接描述了系统中内部能量的分配.例如.通常选以下量作为状态变量:位置(势能),速度(动能),电容电压(电能)和电感电流(磁能).内部能量总可以通过状态变量计算出来.通过第二章的系统的分析知,可以把系统的状态与

7、系统的输入和输出联系起来,并在系统的内部变量与外部输入和测量输出之间建立联系.相反,传递函数仅将输入和输出联系起来,没有给出系统的内部特性.状态形式保存了系统内部特性的信息,这一点有时是很重要的.假设多输入、多输出n阶系统中,r个输入量为和m个输出量。n个状态变量为于是可以用下列方程描述系统:18《现代控制理论》（下部）第一章(1.2.1)输出方程为:(1.2.2)用向量形式描述,可写为:状态方程:(1.2.3)输出方程:(1.2.4)其中1.3根据系统微分方程建立状态空间表达式1.不含作用函数导数项时n阶系统的状态空间表达式