1.控制系统的状态空间模型

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1、《现代控制理论》讲义第1章控制系统的状态空间模型Chapter1控制系统的状态空间模型1.1状态空间模型在经典控制理论中，采用阶微分方程作为对控制系统输入量和输出量之间的时域描述，或者在零初始条件下，对阶微分方程进行Laplace变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量和输出量之间的关系。传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方

2、程组”来描述系统的动态特性。系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。1.1.1状态空间模型的表示法例1-1（例1.1.1）如下面（电路）系统。试以电压为输入，以电容上的电压为输出变量，列写其状态空间表达式。例1-1图RLC电路图解：由电路理论可知，他们满足如下关系经典控制理论：消去变量，得到关于的阶微分方程：对上述方程进行Laplace变换：35《现代控制理论》讲义第1章控制系统的状态空间模型得到传递函数：，，现代控制理论：选择流过电容的电流和电容上的电压作为2个状态变量，（2

3、个储能元件）；1个输入为，；1个输出，。向量完全描述了电路的内部状态，电路的动态过程，由状态变量的初始值和外部输入唯一确定，输出。由于可列写出矩阵形式的状态方程如下。，系统在任一时刻的状态可以用右图“状态空间”中的一个点例如来描述。状态：动态系统的状态，是指能完全描述系统时域行为的一组相互独立的变量组（给定变量组的初始值和输入函数，就能完全确定输出，。状态向量：系统有个状态变量，用这个状态变量作为分量所构成的向量（通常以列向量表示）称为系统的状态向量：状态空间：以状态变量为坐标轴所组成的维空间，称为状态空间状态空间的每一个点均代表系统的某一特定状态。系统在时的

4、各瞬时状态在状态空间中构成一条轨线。**也可以从方程出发选择35《现代控制理论》讲义第1章控制系统的状态空间模型，这正是传递函数的特征方程！选取作为电路输出量，则状态空间模型的输出方程为。由此可见，一个系统的状态变量的选取不是唯一的，相应的状态空间模型也是不同的，这使得可以通过适当选取状态变量，使系统的状态空间模型具有特殊的结构（能控标准型、能观标准型、对角型、约当型等），从而极大的方便控制系统的分析与设计。系统分类：①由已知输入信息获得输出信息，例如各种比例放大器；②由已知输入信息获得输出信息，例如各种动态系统。1.1.2状态空间模型的一般形式以状态空间模型

5、描述系统行为的方法和传递函数不同，它把输入对输出的影响分成两段来描述。第一段是输入引起系统内部状态发生变化，由一阶向量微分方程（状态方程）来描述；第二段是系统内部状态变化引起系统输出的变化，用一个代数方程（输出方程，也称观测方程）来描述。本教材使用维输入，维输出。状态变量图1-1状态向量：，角标只表示将“竖式”写成“横式”；输入向量：，输出向量：矩阵转置运算：；“行矩阵”的转置等于分别转置后的“列矩阵”；“列矩阵”的转置等于分别转置后的“行矩阵”；利用矩阵的转置运算可将“列矩阵”表达为“行矩阵”形式。35《现代控制理论》讲义第1章控制系统的状态空间模型对线性时

6、变系统，上式可写成如下规范形式：，对线性定常系统，可进一步写成如下规范形式：，物理意义：系数矩阵，描述状态量本身对状态量变化的影响；输入（控制）矩阵，描述输入量对状态量变化的影响；输出矩阵，描述状态量对输出量变化的影响；直接转移矩阵，描述输入量对输出量变化的直接影响；实际中，很少有输入量直接传递到输出端，因而常常，故线性定常系统可用表示。系统的输出量和状态变量是两个不同的概念，输出量是人们希望从系统外部能测量到的某些信息，它们可能是状态分量中的一部分，也可以是一些状态分量和控制量的线性组合；而状态变量则是完全描述系统动态行为的一组量，在许多实际系统中往往难以直

7、接从外部测量得到，甚至根本就不是物理量。如何恰当选择输出量，要根据需要来决定，但其数量不会超过状态分量的个数。例1-2（例1.1.2）：如下面弹簧质量（机械）系统。忽略摩擦力，试以受力、受力为输入，以质量的偏离平衡位置的位移、质量偏离平衡位置的位移为输出变量，列写其状态空间表达式。例1-2图弹簧-质量系统P11解：两个质量块，储存动能，三个弹簧，储存势能，共5个储能元件，但由于两端固定，三个弹簧只有两个是“自由的”，故只有4个状态变量。令状态变量为，，，，向量可完全描述系统的内部状态；可列写出矩阵形式的状态方程和输出方程如下。35《现代控制理论》讲义第1章控制

8、系统的状态空间模型,该系统为输入、输出