1.控制系统的状态空间模型

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时间:2018-07-13

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1、《现代控制理论》讲义第1章控制系统的状态空间模型Chapter1控制系统的状态空间模型1.1状态空间模型在经典控制理论中,采用阶微分方程作为对控制系统输入量和输出量之间的时域描述,或者在零初始条件下,对阶微分方程进行Laplace变换,得到传递函数作为对控制系统的频域描述,“传递函数”建立了系统输入量和输出量之间的关系。传递函数只能描述系统的外部特性,不能完全反映系统内部的动态特征,并且由于只考虑零初始条件,难以反映系统非零初始条件对系统的影响。现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论,它用“状态变量”来刻画系统的内部特征,用“一阶微分方

2、程组”来描述系统的动态特性。系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系,揭示了系统内部状态的运动规律,反映了控制系统动态特性的全部信息。1.1.1状态空间模型的表示法例1-1(例1.1.1)如下面(电路)系统。试以电压为输入,以电容上的电压为输出变量,列写其状态空间表达式。例1-1图RLC电路图解:由电路理论可知,他们满足如下关系经典控制理论:消去变量,得到关于的阶微分方程:对上述方程进行Laplace变换:35《现代控制理论》讲义第1章控制系统的状态空间模型得到传递函数:,,现代控制理论:选择流过电容的电流和电容上的电压作为2个状态变量,(2

3、个储能元件);1个输入为,;1个输出,。向量完全描述了电路的内部状态,电路的动态过程,由状态变量的初始值和外部输入唯一确定,输出。由于可列写出矩阵形式的状态方程如下。,系统在任一时刻的状态可以用右图“状态空间”中的一个点例如来描述。状态:动态系统的状态,是指能完全描述系统时域行为的一组相互独立的变量组(给定变量组的初始值和输入函数,就能完全确定输出,。状态向量:系统有个状态变量,用这个状态变量作为分量所构成的向量(通常以列向量表示)称为系统的状态向量:状态空间:以状态变量为坐标轴所组成的维空间,称为状态空间状态空间的每一个点均代表系统的某一特定状态。系统在时的

4、各瞬时状态在状态空间中构成一条轨线。**也可以从方程出发选择35《现代控制理论》讲义第1章控制系统的状态空间模型,这正是传递函数的特征方程!选取作为电路输出量,则状态空间模型的输出方程为。由此可见,一个系统的状态变量的选取不是唯一的,相应的状态空间模型也是不同的,这使得可以通过适当选取状态变量,使系统的状态空间模型具有特殊的结构(能控标准型、能观标准型、对角型、约当型等),从而极大的方便控制系统的分析与设计。系统分类:①由已知输入信息获得输出信息,例如各种比例放大器;②由已知输入信息获得输出信息,例如各种动态系统。1.1.2状态空间模型的一般形式以状态空间模型

5、描述系统行为的方法和传递函数不同,它把输入对输出的影响分成两段来描述。第一段是输入引起系统内部状态发生变化,由一阶向量微分方程(状态方程)来描述;第二段是系统内部状态变化引起系统输出的变化,用一个代数方程(输出方程,也称观测方程)来描述。本教材使用维输入,维输出。状态变量图1-1状态向量:,角标只表示将“竖式”写成“横式”;输入向量:,输出向量:矩阵转置运算:;“行矩阵”的转置等于分别转置后的“列矩阵”;“列矩阵”的转置等于分别转置后的“行矩阵”;利用矩阵的转置运算可将“列矩阵”表达为“行矩阵”形式。35《现代控制理论》讲义第1章控制系统的状态空间模型对线性时

6、变系统,上式可写成如下规范形式:,对线性定常系统,可进一步写成如下规范形式:,物理意义:系数矩阵,描述状态量本身对状态量变化的影响;输入(控制)矩阵,描述输入量对状态量变化的影响;输出矩阵,描述状态量对输出量变化的影响;直接转移矩阵,描述输入量对输出量变化的直接影响;实际中,很少有输入量直接传递到输出端,因而常常,故线性定常系统可用表示。系统的输出量和状态变量是两个不同的概念,输出量是人们希望从系统外部能测量到的某些信息,它们可能是状态分量中的一部分,也可以是一些状态分量和控制量的线性组合;而状态变量则是完全描述系统动态行为的一组量,在许多实际系统中往往难以直

7、接从外部测量得到,甚至根本就不是物理量。如何恰当选择输出量,要根据需要来决定,但其数量不会超过状态分量的个数。例1-2(例1.1.2):如下面弹簧质量(机械)系统。忽略摩擦力,试以受力、受力为输入,以质量的偏离平衡位置的位移、质量偏离平衡位置的位移为输出变量,列写其状态空间表达式。例1-2图弹簧-质量系统P11解:两个质量块,储存动能,三个弹簧,储存势能,共5个储能元件,但由于两端固定,三个弹簧只有两个是“自由的”,故只有4个状态变量。令状态变量为,,,,向量可完全描述系统的内部状态;可列写出矩阵形式的状态方程和输出方程如下。35《现代控制理论》讲义第1章控制

8、系统的状态空间模型,该系统为输入、输出

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