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1、第七章多元函数微分学一多元函数与极限二多元函数的偏导数三多元函数的全微分及其应用四多元复合函数的微分法五多元函数的极值1.实例分析一、多元函数一、多元函数的概念定义1：设在某一过程中有三个变量x,y和z，如果对于变量x,y在其变化范围D内的每一对值(x,y)，按照法则f有唯一确定的值z∈R与之对应，那么这种法则就规定了一个函数：其中x，y称为自变量，z称为因变量，D为定义域。D中任一对数(x,y)在法则f下的对应值z，称为f在点(x,y)的函数值，记作z=f(x,y)。多元函数的概念函数f的函数值的全体称为函
2、数f的值域。函数的两个要素:定义域，对应法则设z=f(x,y)的定义域是平面区域D.按二元函数定义,(x,y)D.可以唯一确定实数z,从而确定了空间一个点M(x,y,z).二元函数的几何意义当(x,y)在D中变动时,点M(x,y,z)在空间中变动,当(x,y)取遍D中一切点时,M(x,y,z)在三维空间中"织"出一片曲面.即,二元函数表示空间中一片曲面,D是该曲面在xy面上的投影区域.XDM(x,y,z)yxzo二元函数的图形通常是一张曲面.例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:与一元函数相类似，对
3、于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.例1求的定义域．解所求定义域为这是一个无界开区域。x+y=0函数的定义域为这是一个闭区域。的定义域为函数（1）邻域回忆（1）邻域°°P0定义2：若函数z=f(x,y)在点附近有定义（在点可以没有定义），P(x,y)是邻域内的点，如果当P以任意的方式无限的趋向于点时。f(x,y)无限的趋向于某一个常数A，那么我们就说当或时，函数f(x,y)以A为极限，记作说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（3）二重极限的几
4、何意义：>0，P0的去心邻域ºU(P0,)。在ºU(P0,)内，函数的图形总在平面及之间。例2求证证当时，原结论成立．注意：是指P以任何方式趋于P0.一元中多元中确定极限不存在的方法：例3设解但取其值随k的不同而变化。不存在．故考察P(x,y)沿平面直线y=kx趋于(0,0)的情形.如图对应函数值xoy定义3：设函数z=f(x,y)在点及其附近有定义如果，就称函数f(x,y)在点连续。如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，就称f(x,y)在区域D连续。例4求解例5求极限解其中多元初等函数：由多元
5、多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数。一切多元初等函数在其定义域内是连续的．在定义域内的连续点求极限可用“代入法”：例７解一、偏导数多元函数的偏导数在二元函数z=f(x,y)中,有两个自变量x,y,但若固定其中一个自变量,比如,令y=y0,而让x变化.则z成为一元函数z=f(x,y0),我们可用讨论一元函数的方法来讨论它的导数,称为偏导数.一、偏导数的定义则称这个极限值为z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数.即此时也称f(x,y)在(x
6、0,y0)处对x的偏导数存在.否则称f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数不存在.类似,若固定x=x0,而让y变,z=f(x0,y)成为y的一元函数.则称它为z=f(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.即定义：设函数z=f(x,y)在点的某个邻域内有定义。固定，给x增量，相应的函数z有增量，称为z关于x的偏增量。如果极限存在，就称其为函数f(x,y)在点处对x的偏导数，记作函数f(x,y)在点处对y的偏导数，记作若z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处时x的偏导数都存在,即(x,y)D,存在
7、.此时,它是x,y的二元函数.称为z对x的偏导函数.简称偏导数.记作类似定义z对y的偏导函数.1.由偏导数定义知,所谓f(x,y)对x的偏导数,就是将y看作常数,将f(x,y)看作一元函数来定义的.注因此,在实际计算时,求f'x(x,y)时,只须将y看作常数,用一元函数求导公式求即可.求f'y(x,y)时,只须将x看作常数,用一元函数求导公式求即可.2.f'x(x0,y0)就是f'x(x,y),在点(x0,y0)的值.算f'x(x0,y0)可用3种方法.f'y(x0,y0)f'y(x,y)f'y(x0,y0)
8、(1)用定义算.(2)先算f'x(x,y),再算f'x(x0,y0)f'y(x,y),f'y(x0,y0).(3)先算f(x,y0),再算f‘x(x,y0)f'x(x0,y0)f(x0,y),f'y(x0,y),f'y(x0,y0).例1.解:或f(x,2)=x2+6x+4,f'x(x,2)=2x+6,故f'x(1,2)=2+6=8.例2.解:例3.解:偏导数的概念可推广到三元以上函数中去.比如,设
