资源描述：
《《多元函数微分学》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九章 多元函数微分学(下)11、设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.第六节偏导数在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面2考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为3得曲线在M处的切线方程切线的方向向量称为曲线的切向量：法平面：过M点且与切线垂直的平面,4解例1所以在该点处的切向量为所求切线方程为法平面方程为即52、设空间曲线方程为法平面方程为切线方程为6例2解将所给方程的两边对x求导并移项，得解得7所求切线方程为法平面方程为由此得切向量即81、曲面方程为在曲面上任取一条通过点M的曲线二、曲面的切平面与法线9两边关于t求导,得所以的切
2、向量,上式表明它与向量垂直.由于曲线在曲面上,故有10这个平面称为曲面在该点的切平面,切平面方程为法线方程为11例3解所求切平面方程为即所求法线方程为12曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令2、曲面方程为13切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为全微分的几何意义14例4解切平面方程为法线方程为15解设为曲面上的切点,依题意，切平面方程平行于已知平面，得例5因为是曲面上的切点，所求切点为满足曲面方程16切平面方程(1)切平面方程(2)切点为17练习：P71习题9.61.(1)18第七节多元函数的极值播放19一、多元函数极值的定义极大值、极
3、小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.第七节多元函数的极值20(1)(2)(3)例1例2例321多元函数取得极值的条件（称驻点）驻点极值点注意：定理1（必要条件）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？22定理2（充分条件）负定正定23例4解无极值极小值极大值无极值驻点-53124求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.二、多元函数的最值25解例5先求函数在D内的驻点，解方程组26为最小值.27若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小
4、)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.例6解28令29三、条件极值问题例7用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外,往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.解即表面积最小.代入目标函数,化为无条件极值问题：xyz30内部唯一驻点,且由实际问题S有最小值,故做成立方体表面积最小.这种解法的缺点：1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；2.有时隐函数显化困难甚至不可能.31拉格朗日乘数法引入拉格朗日函数令若这样的点惟一,由实际问题,可直接确定此即所求的点。32则构造
5、拉格朗日函数为令33例7用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？解由实际问题,即为最小值点.xyz34例8解解得唯一驻点即做成正三角形时面积最大.35三角形中,以正三角形面积为最大：四边形中,以正方形面积为最大：五边形(正)：圆：最大36例9解此椭圆的中心显然是坐标原点,因此问题即求下的最大值和最小值.作拉格朗日函数37由3839例10解作拉格朗日函数40由问题的实际意义知，最大利润一定存在，故当两种广告方式分别投入15万元与10万元时，广告产生的利润最大，最大的利润为41例11解42由由实际问题，此即最佳分配方案.43练习：P79习题9.7
6、1.44第八节方向导数与梯度一、方向导数45当沿着l趋于P时，是否存在？46定义若极限当沿着l趋于P时，47证由于函数可微，则增量可表示为两边同除以，得到定理且有48故有方向导数49解例1所求方向导数50解例2所求方向导数51解例352故方向导数等于0.53解例4单位化54三元函数的方向导数方向导数是偏导数的推广，偏导数是特定方向的方向导数。55解例5所求方向导数由对称性可得56解令例6故57二、梯度gradient58其中59在几何上表示一个曲面,曲面被平面截得曲线所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量60等高线的画法播放61例如,62三元函
7、数的梯度63例7解所以64例8解所以f在梯度方向的方向导数为65梯度的性质(1)若f，g为可微数量函数，则66练习：P83习题9.81.67等高线的画法68等高线的画法69等高线的画法70等高线的画法71等高线的画法72等高线的画法73等高线的画法74等高线的画法75等高线的画法76第七节多元函数的极值77第七节多元函数的极值78第七节多元函数的极值79第七节多元函数的极值80第七节多元函数的极值81第七节多元函数的极值82第七节多元函数的极值83第七节多元函数的极值84第七节多元函数的极值85
