《多元函数微分学》PPT课件.ppt

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1、第七章多元函数微分学1第一节多元函数的基本概念预备知识多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性小结思考题作业第七章多元函数微分学2一、预备知识1.平面点集n维空间实数组(x,y)的全体,即坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作(1)平面点集二元有序多元函数的基本概念距离3邻域(Neighborhood)设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,令多元函数的基本概念几何表示：Oxy.P0有时简记为称之为将邻域去掉中心,注称之为去心邻域4(1)内点显然,E的内点属于E.(2)外点如果存在点P的某个邻域则称P为E的外点.(3)边界点如点P的任一

2、邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.任意一点与任意一点集之间必有以下三种关系中的一种:设E为一平面点集,若存在称P为E的内点.E的边界点的全体称为E的边界,记作使U(P)∩E=,点P的某个邻域,多元函数的基本概念显然,E的外点不属于E.显然,E的边界点可能属于E，也可能不属于E.5例如,设点集则P为E的内点;则P为E的边界点,E的边界为集合多元函数的基本概念6聚点如果点P的任一去心邻域内总含有属于E的点，则称P是E的聚点.（1）聚点P本身可属于E,也可不注属于E。例如,设点集都是E的聚点.则（2）E的内点一定是E的聚点。（3）E的边界点可能是

3、聚点，也可能不是聚点。多元函数的基本概念7开集若E的任意一点都是内点,称E为开集.例为开集.闭集若E的余集是开集,称E为闭集.例为闭集.如对E内任何两点,连通集都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于E,称E为连通集.有界集设O(0,0),如果存在r>0,使得则称E为有界集,否则称E为无界集.多元函数的基本概念8例则E1是开集,E2和E3是闭集,E1和E2是连通集,E3不是连通集.E1,E2和E3都是有界集.则E4是连通的无界闭集.多元函数的基本概念9平面区域(重要)连通的开集称开区域.如都是开区域.多元函数的基本概念10开区域连同其边界,称为有界区域否则称为多元函

4、数的基本概念都是闭区域.如总可以被包围在一个以原点为中心、适当大的圆内的区域,称此区域为半径(可伸展到无限远处的区域).闭区域.有界区域.无界区域11OxyOxyOxyOxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区域无界闭区域多元函数的基本概念12n元有序数组的全体n维空间中的每一个元素称为空间中称为该点的第k个坐标.n维空间中两点的距离定义为n维空间中点记作及的邻域为(2)n维空间多元函数的基本概念n维空间.称为即的一个点,平面中上述概念可以类似推广到n维空间。13二、多元函数的概念1.二元函数的定义例理想气体的状态方程是称p为两个变量T,V的函数,其中(1)定义如温

5、度T、体积V都在变化,则压强p依赖多元函数的基本概念(R为常数)其中p为压强,V为体积,T为温度.于T,V的关系是14按着某种关系有确定的点集D称为该函数称为该函数的则称z是x,y的定义1设D是R2平面上的点集,若在D内每取定一个点P(x,y)时,实数多元函数的基本概念记为称x,y为的数集二元函数.称z为自变量,因变量,定义域,值域.与之对应，两个二元函数相同，当且仅当它们的定义域和对应法则都相同。15二元及二元以上的函数统称为(2)多元函数定义域定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.记为函数在点处的函数值多元函数的基本概念或类似,可定义n元函数.多元函数.实际问

6、题中的函数:自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义的16例求下面函数的定义域解Oxy无界闭区域多元函数的基本概念即定义域为17解Oxy定义域是有界半开半闭区域多元函数的基本概念182.二元函数的几何意义二元函数的图形通常是一张多元函数的基本概念曲面.19的图形是双曲抛物面.多元函数的基本概念如,由空间解析几何知,函数的图形是以原点为中心,R为半径的上半球面.又如,最后指出,从一元函数到二元函数,在内容和方法上都会出现一些实质性的差别,而多元函数之间差异不大.因此研究多元函数时,将以二元函数为主.20三、多元函数的极限讨论二元函数怎样描述呢?Oxy(

7、1)P(x,y)趋向于P0(x0,y0)的回忆:一元函数的极限路径又是多种多样的.注多元函数的基本概念方向有任意多个,Oxy21(2)变点P(x,y)这样,可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义.多元函数的基本概念总可以用来表示极限过程:与定点P0(x0,y0)之间的距离记为不论的过程多复杂,22记作多元函数的基本概念定义2有成立.的极限.设二元函数P0(x0,y0)是D的聚点.的定义义域为D,如果存在常数A,此极限称为二重极限。其坐标表示形式为关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.23说明(1)定义中多元函数的基本概念的方式是任意的；（2