多元函数微分学课件.ppt

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1、【多元函数微分学】习题课一、主要内容二、典型例题分析一、主要内容1、区域(1)邻域(2)区域连通的开集称为区域或开区域.(3)聚点.(4)n维空间.2、多元函数概念(1)二元函数.(2)当n≥2时,n元函数统称为多元函数.3、多元函数的极限及求法注意:定义中P→P0的方式是任意的.4、多元函数的连续性(1)最大值和最小值定理;(2)介值定理.5、多元连续函数的性质6、偏导数概念及求法7、高阶偏导数及求法二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.8、全微分概念及求法9、多元函数连续、偏导存在、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续偏导存在1

2、0、复合函数求导法则(1)复合函数的中间变量均为一元函数的情形;(2)复合函数的中间变量均为多元函数的情形;(3)复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形.11、全微分形式不变性12、隐函数的求导法则13、多元函数的极值与最值(1)定义及求法(2)条件极值及求法.二、典型例题分析解题思路(1)利用多元初等函数的连续性求二元函数的极限(如例1);(3)利用夹逼定理求二元函数的极限(如例3);题型1求二元函数的极限(2)利用变量替换将求二元函数极限的问题转化为求一元函数极限的问题(如例2);(4)判定二元函数的极限不存在(如例4

3、).例1求极限解例2求极限解解例3求极限例4判定极限是否存在.解不存在.题型2求多元函数的偏导数与全微分(4)利用多元复合函数的求导法则求函数的全导数或偏导数(如例6~11);(5)用隐函数的求导公式求偏导数(如例12~14).解题思路(1)已知二元函数的偏导数,求二元函数(如例1);(3)利用全微分的概念求函数的全微分(如例4~5);(2)利用偏导数的概念求函数的偏导数(如例2~3);例1设z(x,y)满足求z(x,y).解两边对x积分,得代入题设条件,得其中(y)为待定函数.例2设求.解例3设求.解例4求函数的全微分.解例5设z

4、=z(x,y)是由方程所确定的函数,其中具有二阶导数且,(1)求dz;(2)记,求.解(1)由所给方程的两边求全微分,得(2)解例6设函数u(x)由方程组所确定,且试求方程组各方程两边对x求导,得由(3)得代入(2)得代入(1)得例7设u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定:解由exy-xy=2两边对x求导,得和求由两边对x求导,得解例8设f具有二阶连续偏导数,求函数都可微,求例9设其中解法1由多元复合函数的求导法则,得解法2由全微分形式的不变性,得于是例10设z=f(u),方程确定

5、u是x,y的函数,其中f(u),(u)可微,连续,且,求.解由方程z=f(u)可得即例11设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足解又求例12设函数z=z(x,y)由方程所确定,试求解法1利用隐函数求导公式.令则解法2方程两边分别对x,y求导,得解得解法3由所给方程的两边求全微分,得即解得例13试证由方程所确定的函数z=z(x,y)满足证明令则例14设函数z=z(x,y)由方程所确定,证明证明令则题型3多元函数的极值与最值问题解题思路(1)利用函数极值的定义讨论函数的极值(如例1);(2)求函数的无条件极值(如例2~3);(3)

6、利用拉格朗日乘数法求条件极值(如例4~7).例1设函数f(x,y)在点O(0,0)及其邻域内连续,且讨论f(x,y)在点O(0,0)是否有极值,若有,是极大值还是极小值？解∴存在点O(0,0)的某个邻域内,使得在该邻域内有故函数f(x,y)在点O(0,0)处有极大值.且即例2证明函数有无穷多个极大值,但无极小值.证明其二阶偏导数为∴函数f(x,y)取得极大值;∴函数f(x,y)无极值,故f(x,y)有无穷多个极大值,但无极小值.例3某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为p1和p2,销售量分别为q1和q2,需求函数分别为和,

7、总成本函数为.试问:厂家如何确定两个市场的售价,才能使得获得的总利润最大?最大利润为多少?解总收入函数与总利润函数分别为由函数取得极值的必要条件得解方程组得唯一驻点(80,120).由问题的实际意义知,当p1=80,p2=120时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为解例4求函数在附加条件下的极值作拉格朗日函数则由解得驻点为∴当时,函数取得最大值u=3,从而也是极大值;∴当时,函数取得最小值u=－3,从而也是极小值.∵所给函数在闭球面上连续且不为常数,∴必取得最大值与最小值且二者不相等.又条件极值点只有两个,例5求函数在约束条件和下

8、的最大值和最小值.解作拉格朗日函数则由解得或∵该函数在所给旋转抛物面及平面上连续且不为常数,∴该函数必取得最大值与最小值且二者不相等,即可能极值点为(-2,-2,8),(1,1,2).例6当x>0,y>0,z>0时,求函