多元函数微分学ppt 课件.ppt

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1、第八章习题课多元函数微分学一基本要求1理解二元函数的概念，会求定义域。2了解二元函数的极限和连续的概念。3理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导数的求法。4掌握多元复合函数的微分法。5了解全微分形式的不变性。6掌握隐函数的求导法。7会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法线。8了解方向导数的概念和计算公式。9了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向导数之间的关系。10掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法及最大（小）值的求法。二要点提示（一）函数的概念1.点函数的定义：设是一个点集，如果对于每一点变量按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称是点的函数，记为注意1.从一元函数推广

2、2.多元函数与一元函数的区别当时，当时，为n元函数.为三元函数；……当时，为二元函数；当时，为一元函数；2.多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成，可用一个式子所表示的函数，称为多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.1．偏导数（1）定义：偏导数是函数的偏增量与自变量增量之比的极限.（二）偏导数与全微分（2）计算求多元函数的偏导数实际上是一元函数的微分法问题，对一个变量求导，暂时将其余变量看作常数.2．全微分微分公式：（三）多元函数连续﹑偏导存在与可微之间的关系一元函数：可导函数可微，一元函数：可导连续，多元函数：偏导数连续

3、函数可微多元函数连续函数的偏导数存在。（四）多元函数微分法1．多元复合函数求导法（1）链式法则链式法则的实质是函数必须对中间变量求导。依据函数的复合结构，可按照“连线相乘，分线相加”的原则来进行.设则是的复合函数.称为全导数.求多元复合函数偏导数的关键在于弄清函数的复合结构,它可用“树形图”来表示.注意：2．隐函数求导法：设是由方程所确定的隐函数，则方法2隐函数的求导公式：方法1对方程两端求(偏)导数，然后解出所求(偏)导数.（五）微分法在几何上的应用则曲线在点处切向量为是曲线上一点，其相应的参数为（1）设空间曲线：1．空间曲线的切线及法平面曲线在点处的切线方程为曲线在点处的

4、法平面方程为若曲线的方程表示为则在点处切向量为2．曲面的切平面及法线为曲面上一点,则曲面在点处的法向量为（1）设曲面方程为（隐函数形式）切平面方程为法线方程为（2）若曲面方程为（显函数形式）曲面上点的法向量为则可写为隐函数形式（六）方向导数与梯度2．计算公式：若可微，则其中为轴正向到方向的转角方向导数的定义注意:方向导数存在偏导数存在若可微,则其中为方向的方向角.3.梯度：设在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，向量称为在点的梯度。梯度与方向导数的关系：梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。（七）函数的极值﹑最大值和最小值这时称为驻点。

5、若在点处有极值，则驻点不一定是极值点1．极值的必要条件：是极小值；2．充分条件：设在驻点的某邻域内有连续的二阶偏导数，记(2)当时，不是极值；(1)当时，是极值;(3)当时，不能确定.是极大值；3．条件极值：求拉格朗日函数求条件极值的方法：(1)可将条件代入函数，转化为无条件极值问题；的极值.如函数下的极值称为条件极值.在条件(2)可以用拉格朗日乘数法：4．函数的最大值和最小值在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定驻点是否是最值点.求函数在有界区域上的最大值和最小值的法:1.求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在的点的函数值;2.求出在的边界上可能的最大值﹑最小值;3.比

6、较大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值.三例题分析（一）求定义域和极限2.讨论极限1.答案:(2)设沿直线趋近于(0,0)故极限不存在.2.(1)令（二）求偏导数和全微分:1.求一阶偏导数及全微分.1.求一阶偏导数及全微分.参考答案7.设F(x,y)具有连续偏导数,已知方程解法1利用隐函数偏导数公式确定的隐函数,则故7.设F(x,y)具有连续偏导数,已知方程解法2对方程两边求全微分，得用全微分形式不变性即（三）曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线曲线的切线和法平面2.作一平面与直线垂直且与球面相切.在点处的切线方程及法平面方程.1.求曲线即曲线，法平面方程：切线方程

7、：其切向量为解方程组确定隐函数在点处的切线方程及法平面方程.1.求曲线所求平面的法向量2.作一平面与直线垂直且与球面相切.解所求平面设为设切点为方法1所求平面：由（切）点到原点的距离公式，有所求平面与球面相切.则球面的法向量为:方法2所求平面的法向量2.作一平面与直线垂直且与球面相切.所求方程为代入曲面，得解（三）方向导数和梯度梯度的模由题意：要使方向导数=梯度的模，即须有说明球心在原点的球面上点沿向径的方向导数最大.（四）多元函数的极值和最值由题意知结论.得唯一驻点:方法11.将正数分成三个正数之和,