第3章 常微分方程的差分方法ppt课件.ppt

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1、第3章常微分方程的数值解法§1引言§2欧拉方法§3龙格-库塔方法§4阿达姆斯方法§5算法的稳定性及收敛性§6方程组及高阶方程的数值解法§7边值问题的数值解法1§1引言在工程和科学技术的实际问题中，常需要解常微分方程。但常微分方程组中往往只有少数较简单和典型的常微分方程（例如线性常系数常微分方程等）可求出其解析解。对于变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线性常微分方程就更不用说了。在大多数情况下，常微分方程只能用近似法求解。这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等；另一类则是数值解法，它给出

2、方程在一些离散点上的近似解。在具体求解微分方程时，需要具备某种定解条件，微分方程和定解条件合在一起组成定解问题。定解条2件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，称为初始条件，相应的定解问题称为初值问题；另一种是给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件，相应的定解问题则称为边值问题。例如，弹簧-质量系统的振动问题（图7-1），作一定的简化后，可用一个二阶常微分方程来描述。式中，x是质量m离平衡位置（0点）的距离；t是时间；c是弹簧常数。3当弹簧在振动开始时刻t=t0时的初始位置x(t0)=x0和初速度确定时，弹簧的振动规律x(

3、t)也就唯一确定。这就是一个常微分方程的初值问题，可写成：4mxxoc图7-1本章先从一阶常微分方程的初值问题：（1.1）出发进行讨论。5由常微分方程的理论知，只要上式中的函数f(x,y)在区域内连续，且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L(它与x,y无关)使对内任意两个y1和y2都成立，则方程的解必定存在且唯一。下面的分析均假定满足上述条件。初值问题（1.1）的数值解法，常采用差分方法，即把一个连续的初值问题离散化为一个差分方程来求解。即将（1.1）离散化后，求找其解y=y(x)在一系列离散节点6上的近似

4、值y0,y1,…,yn。两相邻节点间的距离称为步长。当（常值）时称为等步长，有或a=x0

5、问题（1.1）式，先将其离散化，即把[a,b]作n等分，得各离散节点xi=a+ih(i=0,1,2,…,n-1)式中h=(b-a)/n设y=y(x)为方程（1.1）的解，则y=y(xi+1)在(xi,yi)点处的泰勒展开式为：9当有界且h充分小时，可忽略高阶无穷小量将上式写成(2.1)或10若将和的近似值分别记为和，则得这就是欧拉（Euler）公式，又称欧拉格式。利用它可由已知的初值出发，逐步算出。这类形式的方程也称为差分方程。当假定为准确，即在的前提下来估计误差，这种截断误差称为局部截断误差。由（2.1）和（2.2）可知，欧拉

6、格式在节点处的局部截断误差显然为：(2.2)11(2.3)如果局部截断误差为，则称这种数值算法的精度为P阶。故欧拉格式的精度为一阶。从几何意义上来看欧拉格式，可如图7-2中所示。由方程（1.1）知，其积分曲线y=y(x)上任意一点(x,y)的切线斜率dy/dx都等于函数f(x,y)的值。从初值点P0（即点(x0,y0)）出发，作积分曲线y=y(x)在P0点上的切线（其斜率为f(x0,y0)），与直线x=x1相交于点P1（即点(x1,y1)），得到y1作为y(x1)的近似值，则有12相比较可知，这时是用切线段近似代替了曲线段；P1

7、点近似代替了点；y1近似代替了y(x1)；hf(x0,y0)近似代替了递推继续从P1点出发，作一斜率为f(x1,y1)的直线，与直线x=x2相交于P2点（即点(x2,y2)）13与yox图7-214得到y2作为y(x2)的近值；……如此继续，直到Pn点。这样，得出一条折线P0P1P2…Pi…Pn近似代替积分曲线P'0P'1P'2…P'i…P'n。当步数越多时，由于误差的积累，折线P0P1P2…Pi…Pn可能会越来越偏离真解P'0P'1P'2…P'i…P'n曲线。差分是微分的近似计算，所以欧拉格式也可用差商近似代替导数的离散方法得

8、到。在节点xi处有（2.4）用向前差商15近似代替上式中的导数项y'(xi),即（2.5）代入（2.4）,可得：y(xi+1)和y(xi)用其近似值yi+1和yi代入，则得16此即（2.2）（欧拉格式）。显然，欧拉格式具有递推性，在计算yi+1时只要用到前一步所