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1、实验4插值与数值积分 【实验目的】1．掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析；2．掌握用MATLAB及梯形公式、辛普森公式计算数值积分；3．通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。 【实验内容】3．用梯形公式和辛普森公式计算由下表数据给出的积分。k1234567xk0.30.50.70.91.11.31.5yk0.38950.65980.91471.16111.39711.62121.8325已知该表数据为函数y=x+sinx/3所产生，将计算值与精确值作比较。解：积分为。程序如下：%
2、原始数据x=[0.3:0.2:1.5];y=[0.38950.65980.91471.16111.39711.62121.8325]; z=0.5*(1.5^2-0.3^2)+1/3*(cos(0.3)-cos(1.5))%精确值z1=trapz(x,y)%梯形公式k=length(y);y1=[y(2:2:k-1)];s1=sum(y1);y2=[y(3:2:k-1)];s2=sum(y2);z2=(y(1)+y(k)+4*s1+2*s2)*0.2/3%辛普森公式z3=quad('x+sin(x)/3',0.3,1.5)%自适应辛普森公式z1-zz2-z
3、z3-z运行结果如下：z=1.263z1=1.000z2=1.667z3=1.501z1-z=-0.263z2-z=-5.9362e-004z3-z=-2.4316e-009结果分析：显然用梯形公式计算的积分值，其精确程度要小于用辛普森公式算出的积分值，因为梯形公式的代数精度为1，而辛普森公式的代数精度为3。而自适应辛普森公式给出的结果又较前二者更为精确。从中可以看出，插值的方式以及步长的选择都对积分值起到十分重要的作用。 8．求的数值积分，使误差在10e-4以内。解：先估计截断部分的值，当时，有，N=3故只需要计算即可。程序如下：z=quad('exp(
4、-x.^2)./x',1,3,1e-4)结果如下：z=1.0969e-001由于，所以的计算结果与精确值的误差不会超过10e-4。 10．下表给出的x、y数据位于机翼端面的轮廓线上，Y1和Y2分别对应轮廓的上下线。假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标，试完成加工所需数据，画出曲线，求加工端面的面积。x035791112131415Y101.82.22.73.03.12.92.52.01.6Y201.21.72.02.12.01.81.21.01.6 解：程序如下：%初值x0=[0,3:2:11,12:15];Y1=[01.82.22.73.03.12.
5、92.52.01.6];Y2=[01.21.72.02.12.01.81.21.01.6];%步长x=0:0.1:15;%分段线性插值y1_in=interp1(x0,Y1,x);y2_in=interp1(x0,Y2,x);%三次样条插值y1_sp=spline(x0,Y1,x);y2_sp=spline(x0,Y2,x);[x',y1_in',y1_sp',y2_in',y2_sp']subplot(2,1,1),plot(x,y1_in,x,y2_in,'b'),title('interp')subplot(2,1,2),plot(x,y1_sp,x
6、,y2_sp,'b'),title('spline')trapz(x,y1_in)-trapz(x,y2_in)%分段线性插值积分值trapz(x,y1_sp)-trapz(x,y2_sp)%三次样条插值积分值结果如下：所有数据见附表。机翼断面曲线如下，上图是分段线性插值，下图是样条曲线插值。机翼面积：分段线性：S=10.7500；三次样条：S=11.3444。结果分析：由图形可见，三次样条插值出来的曲线要比分段线性插值更光滑，这样面积也就越准确。 附表：机翼端面轮廓线数据 xY1（线性）Y1（样条）Y2（线性）Y2（样条）000000.10000.06
7、000.10890.04000.04990.20000.12000.21340.08000.09900.30000.18000.31370.12000.14740.40000.24000.40970.16000.19510.50000.30000.50180.20000.24210.60000.36000.58980.24000.28840.70000.42000.67400.28000.33400.80000.48000.75450.32000.37880.90000.54000.83140.36000.42301.00000.60000.90470.4
8、0000.46651.10000.66000.97470.4400
