第2章 一维势场中地粒子：习题解答.doc

《第2章 一维势场中地粒子：习题解答.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第2章一维势场中的粒子习题2.1在三维情况下证明定理1-2。证明：实际上，只要在教材上对一维情形的证明中将一维变量x换为三维变量即可。习题2.2方程的一般解亦可写为如下形式：或试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱。解：方法1：令势阱一般解为，代入边界条件有，解得：，有所以：归一化可求得：且有：方法2：令势阱一般解为，代入边界条件有解得所以：归一化可求得：且有：习题2.3设质量为μ的粒子在势场中运动，求定态Schrödinger方程的解。解：方法1：本问题与一维中心不对称无限深势阱的差别仅在于坐标原点的选择，将教材中式（2.6）中

2、的坐标x换为x+a/2即得到本问题的解为：,n=1,2,3……由定理2可知，本问题中的波函数应该具有确定的宇称。讨论如下：当n=2k为偶数时，为关于x的奇函数，此时波函数为奇宇称；当n=2k+1为奇数时，为关于x的偶函数，此时波函数为偶宇称；方法2：本题也可在不预先考虑宇称的情况下直接求解，过程如下：1．写出分区的定态Schrödinger方程由前面提到的，当V0→∞时，ψ=0故阱外波函数为零，即ψ（x）=0,

3、x

4、≥a/22、引入参数简化方程，得到含待定系数的解，令则阱定态Schrödinger方程为：ψ″(x)+k2ψ=0由此

5、得阱的通解为：式中A、B为待定常数。3、由波函数标准条件确定参数k，并代入ψ(x)。既然阱外的波函数ψ(x)=0，由波函数的连续性条件可得ψ(-a／2)=ψ(a／2)=0即可解得，n=1,2,3,……∴归一化，可得到方法3：本题也可在预先考虑宇称的情况下直接求解，过程如下：1．写出分区的定态Schrödinger方程由前面提到的，当V0→∞时，ψ=0故阱外波函数为零，即ψ（x）=0,

6、x

7、≥a/22、引入参数简化方程，得到含待定系数的解，令则阱定态Schrödinger方程为：ψ″(x)+k2ψ=0由此得阱的通解为：ψ(x)=As

8、inkx+Bcoskx,

9、x

10、

11、x,y)=∞时，则粒子的波函数为零，即ψ(x,y)=0(x,y)((0,a1),(0,a2))粒子在(x,y)∈((0,a1),(0,a2))的Schrödinger方程即：利用变量分离法，可以将粒子在二维方势阱的运动化为二个一维运动。即令ψ(x,y)=X(x)Y(y)将ψ(x,y)=X(x)Y(y)代入上式的Schrödinger方程中，得令则Schrödinger方程可化为:则其解为:由此可设波函数为：ψ(x,y)=Asin(k1x+δ1)sin(k2y+δ2)(x,y)∈((0,a1),(0,a2))由边界条件：ψ(x,0)

12、=ψ(0,y)=ψ(a1,y)=ψ(x,a2)=0代入波函数中，得,故可取∴ψ(x,y)=Asink1xsink2y(x,y)∈((0,a1),(0,a2))由边界条件ψ(a1,y)=ψ(x,a2)=0得则得到k1a1=n1π,k2a2=n2π(n1,n2=1,2,3……)即，∴波函数由波函数的归一化条件得到：得所以，二维无限深方势阱的波函数为：，n1,n2=1,2,3……能级为：ya2a1a3zx习题2.5三维无限深方势阱问题设质量为μ的粒子在势场中运动，求束缚态解。解：由前面的知识可以知道粒子在盒型势阱以外的波函数为零。

13、即ψ(x,y,z)=0(x,y)((0,a1),(0,a2),(0,a3))在盒型势阱的定态Schrödinger方程即：利用变量分离法，可以将粒子在三维方势阱的运动化为三个一维运动。不可穿透的壁就是无限深的势阱。令ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)代入上式Schrödinger方程中，得令则Schrödinger方程可化为：∴阱的波函数可设为：ψ(x,y,z)=Asin(k1x+δ1)sin(k2y+δ2)sin(k3z+δ3)(x,y,z)∈((0,a1),(0,a2),(0,a3))将边界条件：ψ(0,y,z)=ψ(

14、x,0,z)=(x,y,0)=0代入波函数中，得，故可取∴此时波函数可写为：ψ(x,y，z)=Asink1xsink2ysink3z(x,y,z)∈[(0,a1),(0,a2),(0,a3)]由边界条件，ψ(a1,y,z)=ψ(x,a2,z)=ψ