量子力学讲义iii中心势场中的粒子

量子力学讲义iii中心势场中的粒子

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1、III.中心势场中的粒子1.经典力学中,角动量。量子力学中,轨道角动量算符是否仍有呢? 解:算符与的矢量积中,不出现有不对易因子,的项。例如,,而,由于,,故其他两个分量和也有类似的结果。因而,在量子力学中仍有。2.质量为的粒子在中心力场(1)中运动,证明存在束缚态的条件为,再进一步证明在附近存在无限条束缚态能级。 证明:当势能取式(1)时,根据维里定理,在任何束缚态中,有下列平均值关系,,(2)所以(3)由于,而束缚态,所以存在束缚态的条件为(4)在这个条件下,式(3)还可以写成(5)如能构造一个波包,其径向分布几率集中在附近的范围内,而且,则(6)只要足够大,就可

2、以小于任意指定正数,这样就得到无限多条密集在附近的能级。另外,波包的构成必须受测不准关系的制约,(7)由于束缚定态,所以(8)(9)由于必须小于,如,则对于足够大的,上式将给出,不能成为束缚态;反之,如,对于足够大的,式(9)中的第二项起主要作用,将给出,而且当,,各能级密集在附近3.粒子在中心势场中运动,处于能量本征态(1)如果已经归一化,则势能平均值等于(2)试证明:如为单调上升函数,即,则对于任意给定的距离,均有(3) 证明:由于是单调上升的,显然对于粒子的任何状态,总可以找到某个,使得(4)而且,当时,;当时,。因此,如,式(3)显然成立。如,则但因(5)所以

3、仍得4.对于氢原子的基态,求,,验证测不准关系。 解:氢原子基态波函数为(1)宇称为偶。由于均为奇宇称算符,所有(2)由于各向同性,呈球对称分布,显然有(3)容易算出(4)(5)因此(6)(7)(8)测不准关系的普遍结论是(9)显然式(8)和(9)是一致的,而且很接近式(9)规定的下限。5.以表示轨道角动量。证明:在的任何一个本征态下,和的平均值为0。 证明:设为的本征态,属于本征值,则(1)利用基本对易式(2)在态下求平均值,即得(3)类似的,将对易式在态下求平均值,可证。注意,在证明中只利用了角动量的基本对易式,并没有得到算符和波函数的具体构造式。因此,所得结论适

4、用于任何一种角动量,即:在角动量的任何一个直角坐标分量的本征态下,的另外两个分量的平均值均为0。6.两个角动量耦合。当和给定时,相互独立的状态数为个。(1)以上结论是怎样得出的?(2) 以为例,列出合成角动量量子数j及m的可能取值及相应状态数,验证之。 解:(1)当给定时,可能有个取值。当给定时,可能有个取值。因而共有个,它们组成正交归一的完全系,时非耦合表象的基矢。可由它们线性叠加为因而,当和给定时,相互独立的的数目也是个。(2)时,a可取值为时,可取值为。可取值为:。由,故当,对应个;当,,对应个;当,对应个;对应数目总共正是个。电子科技大学光电信息学院Copyr

5、ight © 2005

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