量子力学讲义iii.中心势场中的粒子

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1、III.中心势场中的粒子1.经典力学中，角动量。量子力学中，轨道角动量算符是否仍有呢？ 解：算符与的矢量积中，不出现有不对易因子，的项。例如，，而，由于，，故其他两个分量和也有类似的结果。因而，在量子力学中仍有。2.质量为的粒子在中心力场（1）中运动，证明存在束缚态的条件为，再进一步证明在附近存在无限条束缚态能级。 证明：当势能取式（1）时，根据维里定理，在任何束缚态中，有下列平均值关系，，（2）所以（3）由于，而束缚态，所以存在束缚态的条件为（4）在这个条件下，式（3）还可以写成（5）如能构造一个波包，其径向分布几率集中在附近的范围内，而且，则（6）只要足够

2、大，就可以小于任意指定正数，这样就得到无限多条密集在附近的能级。另外，波包的构成必须受测不准关系的制约，（7）由于束缚定态，所以（8）（9）由于必须小于，如，则对于足够大的，上式将给出，不能成为束缚态；反之，如，对于足够大的，式（9）中的第二项起主要作用，将给出，而且当，，各能级密集在附近3.粒子在中心势场中运动，处于能量本征态（1）如果已经归一化，则势能平均值等于（2）试证明：如为单调上升函数，即，则对于任意给定的距离，均有（3） 证明：由于是单调上升的，显然对于粒子的任何状态，总可以找到某个，使得（4）而且，当时，；当时，。因此，如，式（3）显然成立。如，

3、则但因（5）所以仍得4.对于氢原子的基态，求，，验证测不准关系。 解：氢原子基态波函数为(1)宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所有（2）由于各向同性，呈球对称分布，显然有（3）容易算出（4）（5）因此（6）（7）（8）测不准关系的普遍结论是（9）显然式(8)和(9)是一致的，而且很接近式（9）规定的下限。5.以表示轨道角动量。证明：在的任何一个本征态下，和的平均值为0。 证明：设为的本征态，属于本征值，则(1)利用基本对易式（2）在态下求平均值，即得（3）类似的，将对易式在态下求平均值，可证。注意，在证明中只利用了角动量的基本对易式，并没有得到算符和波函数的具体

4、构造式。因此，所得结论适用于任何一种角动量，即：在角动量的任何一个直角坐标分量的本征态下，的另外两个分量的平均值均为0。6.两个角动量耦合。当和给定时，相互独立的状态数为个。(1)以上结论是怎样得出的？(2) 以为例，列出合成角动量量子数j及m的可能取值及相应状态数，验证之。 解：（1）当给定时，可能有个取值。当给定时，可能有个取值。因而共有个，它们组成正交归一的完全系，时非耦合表象的基矢。可由它们线性叠加为因而，当和给定时，相互独立的的数目也是个。（2）时，a可取值为时，可取值为。可取值为：。由，故当，对应个；当，，对应个；当，对应个；对应数目总共正是个。电

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