《维势场中的粒子》PPT课件

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1、第2章一维势场中的粒子§2.1一维定态的一般性质与空间有关的一维定态Schrödinger方程为：（2.1）在量子力学中，如不作特别说明，都假定势能V取实数，即V=V*。若对应于某个能量E，方程（2.1）只有一个解，则称能级E不简并。若对应于某个能量E，方程（2.1）不只一个解，则称能级E是简并的。定理2.1：设是方程（2.1）的一个解，的一个解，对应的能量本征值也是E。且总可以找到方程（2.1）的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表成这组实解的线性叠加。对应的能量本征值为E，则也是方程（2.1）证明：方程（2.1）两边取复共轭，注意到V(x)=V*(x),E*

2、=E,有可见也满足方程（2.1），对应的能量本征值也是E。若能级E不简并，则和描述的是同一个量子态，故。取复共轭，有取c=1，有是实函数。是实解，则将它归入（2.1）的一个解。而根据线性微分方程解的叠加若能级E简并，如果实解的集合中。如果它是复解，则也是方程性定理，如下两个组合（组合后为实函数）：是（2.1）同属于能量E，并彼此独立的解。定理2.2：设V(x)具有空间反射不变性，V(－x)＝V(x)。如果为方程（2.1）的一个解，对应的能量本征值为E，则也是方程（2.1）的一个解，对应的能量本征值也是E。且总可以找到方程（2.1）的一组解,其中每一个都具有确定的

3、宇称,而属于能量本征值E的任何解，都可表成这组解的线性叠加。证明：在方程（2.1）中作代换x→-x,注意到有可见　　　亦是方程的解。若能级E无简并，则描述的是同一个状态，他们之间只能相差一个常数ｃ，所以有偶宇称奇宇称若能级E有简并，可令均为方程（2.1）的解，对应的能量本征值都为E，且有确定的宇称。此外，由定理２.1可知，总可将方程的解取为实函数。习题2.1在三维情况下证明定理2.1和定理2.2。定理2.3：对于阶梯形方势有限时，连续；时，定理不成立。证明：由方程（2.1）有（2.2）在x=a的邻域对方程（2.2）积分　　　　　，有即V(x)在x=a处发生突变，

4、有限时，上式右边积分为0，从而在x=a处连续；上式右边的积分无法确定。§2.2一维无限深势阱和一维有限深势阱1.一维无限深势阱设质量为μ的粒子在势场中运动，求定态Schrödinger方程的解。解：　由于势阱外不可能出现在势为无限大之处，故势阱外波函数为零。即：,而能量有限的粒子势阱内的Schrödinger方程为（2.3）令（2.4）则（2.3）简化为：其通解的形式为：由波函数的连续发性条件可得到从而有再由波函数的归一化条件可得到归一化常数为综上，一维无限深势阱波函数：能级能级：（2.6）一维势阱中粒子波函数及概率图示(取a＝2)……………………习题2.2方程

5、的一般解亦可写为如下试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱。或形式：习题2.3设质量为μ的粒子在势场中运动，求定态Schrödinger方程的解。提示：本问题与一维中心不对称无限深势阱的差别仅在于坐标原点的选择，将式（2.6）中的坐标x换为x+a/2即得到本问题的解为：n=1,2,3……（2.7）习题2.4二维无限深方势阱问题设质量为μ的粒子在势场中运动，求束缚态解。习题2.5三维无限深方势阱问题设质量为μ的粒子在势场中运动，求束缚态解。2.一维有限深势阱对于一维有限深势阱中运动的粒子，当其处于束缚态时，确定其能级的为超越方程，没有解析解。下面将用数值解法较完整

6、地给出能级和归一化波函数，所用方法和结果简洁明了，对这类问题有普遍意义，也可加深对这类问题的理解。如图1，设质量为的粒子在势场这里我们只考虑束缚态情形，即0

7、9099，1.27609）即此时粒子有两个能级：归一化波函数为：当V0→∞时，势阱的波函数化为：可见当势为无穷大时，波函数为零。其第一个束缚态的概率分布情形如图：§2-3线性谐振子弹簧振动、单摆是谐振子，它们的位移或角位移满足方程：谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。考虑一维空间中运动的线性谐振子，其势能为：定解问题为:（2.8）（2.9)单值性连续性有限性令方程可改写为（2.10)求解:先看时,的渐近行为。此时方程为，渐近解为因为波函数的标准条件要求。有限，故取。据上，可令

8、方程的解为代入方程（2.