函数的极值与最值.doc

《函数的极值与最值.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§4.3函数的极值与最值教学内容1.函数极值的概念和必要条件；2.函数的极大值和极小值；3.函数的最大值和最小值.教学目的1.熟练掌握函数极值的概念和必要条件，熟练掌握极值存在的第一、第二充分条件；2.掌握求函数的最大值和最小值方法，并熟练求解较简单的最大值和最小值的应用问题.教学重点与难点应用问题中的最大最小值问题.复习1.函数增减性判别法；2.不等式的证明方法.一、函数的极值定义设在（a,b）内有定义，，1.若存在，有f(x)<,则称为f(x)的极大值；2.若存在，有f(x)>,则称为f(x)的极小值.极大，极小值统称为极值，称为极值点.注意：极

2、值是局部的.定理1若在处可导，且为极值，则=0.证：不妨设为极值点，由定义知，存在，有<0.于是；.故=0.注1.使导数为零的点，即=0的实根称为f(x)的驻点（或稳定点）；2.可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点；3.若不存在，定理1失效，但可能为极值点；4.由上1，2，3知，极值点或者为驻点，或者为不存在的点.定理2设在的某一去心邻域内可导，在处连续，1.若时>0,<0,则为极大值；2.若时>0,<0,则为极小值.证1：时>0，且在连续在上f(x)<；<0,且在连续，在上f(x)<.即，有<.由定义为极大值.同理可证2.例1求出函数的极

3、值.解：=，令=0得=-1，=3，（无不存在的点）用=-1，=3作为界点将定义域分区列表得（-1，3）3+0-0+极大极小故在取得极大值：；在取得极小值：.定理3若存在，且=0，0，那么当<0时，为极大值；当>0时，为极小值.注：当，不存在或＝0时，第二判定法失败，此时应用第一充分条件或定义来判定.例如在处二阶导数均为零，但他们分别在处取得极小，极大和无极值点.例1的解法二,,令＝0得＝－1，＝3，＝－12<0,故f(-1)=10为极大值;=12>0,故f(3)=-22为极小值.例2求＝（-5）的极值和单调区间.解：1.定义域为，2.＝＝.解方程=0

4、得，另有不存在的点（即求出可能的极值点）.3.用和2作为分界点将分区列表，即可得极值和单调区间.x0(0,2)2+不存在-0＋Y=f(x)极大值极小值极大值为；极小值为.小结：求函数的极值和单调区间步骤：1.求的定义域；2.求及方程＝0的全部实根和不存在的点；3.用为分界点将定义域分区列表，在表中确定在各分区间上的符号从而确定在各分区间上的单调性和极值.二、函数的最值在生产实践及科学实验中，常遇到“最好”，“最省”，“最低”，“最大”和“最小”等问题．例如质量最好，用料最省，效益最高，成本最低，利润最大，投入最小等等，这类问题在数学上常常归结为求函数

5、的最大值或最小值问题．1.闭区间上的最大值和最小值如果函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值．连续函数在闭区间上的最大值和最小值仅可能在区间内的极值点和区间的端点处取得．因此．为了求出函数在闭区间上的最大值与最小值，可先求出函数在内的一切可能的极值点（所有驻点和导数不存在的点）处的函数值和区间端点处的函数值，，比较这些函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值．例3求函数在[]上的最大值和最小值．解当时，．由得，．为不存在的点．由于．所以，函数的最大值是最小值是．注1若在一个区间内（开区间，闭区间或无穷区间）只有一个极大值点，而无极小

6、值点，则该极大值点一定是最大值点．对于极小值点也可作出同样的结论．注2若函数在上单调增加（或减少），则必在区间的两端点上达到最大值和最小值．例4求函数在内的最小值．解．在上，令得．当时，；当时，，故在处取得极小值．由注１知，函数在点处取得最小值．2.应用举例例5要做一个容积为的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？解要使材料最省，就是要罐头筒的总表面积最小．设罐头的底半径为，高为，如图3—5，则它的侧面积为，底面积为，因此总表面积为．由体积公式有，所以,；．令得，．而．因为，都是正数，，所以．因此在点处取得极小值，也就是最小值．这时相应的高为．于

7、是得出结论：当所做罐头筒的高和底直径相等时，所用材料最省．例6某乡镇企业的生产成本函数是．其中表示产品件数．求该企业生产多少件产品时，平均成本达到最小？解平均成本函数为，其定义域为内的整数．．令，得，．（舍去），又因为，所以．故该企业生产件产品时，平均成本最低．最低平均成本为．小结1.函数极值的概念和必要条件，极值存在的第一、第二充分条件；2.函数的最大值和最小值方法.作业作业:P1387、8、9、11预习：§4.4