数理方法习题解.doc

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1、数学物理方法作业解答：习题1.1P6.1下列式子在复平面上具有这样的意义(2)

2、z-a

3、=

4、z-b

5、解：Xyoab

6、z-a

7、表示z到a点的距离，

8、z-b

9、表示b点的距离即a与b的连线的垂直平分线。(3)Re(z)>解:Rez=x有x>o12z11Rez>表示坐标x大于的一切点即x=的右边平面(8)Re()=2解：因为z=x+iy所以Re()=Re()=Re()==2得x2+y2-=0即(x-)2+y2==()2所以Re()为以（，0）为圆心，以为半径的圆yxz1214P6.2把下列复数代数式，三角式和指数式几种形

10、式表示出来(1)i解：i=cos()+isin()=ei(2)-111解：-1=cos(π)+isin(π)=eiπ(3)1+i解：1+i=2(cos+isin)=2ei(4)1-cosα+isinα解：1-cosα+isinα=ρ(cosφ+isinφ)=ρeiφ其中ρ==2sin()Φ=arctg=arctg(ctg)原式=2sin[cosarctg(ctg)+isinarctg(ctg)]=2sineiarctg(ctg)（5）z3解：z3=(x+iy)3=(x3-3xy2)+i(3x2y-y3)ρ3ei3φ=ρ

11、3(cos3φ+isin3φ)其中ρ=φ=arctg(7)==-i=cos+isin=e(i)3.计算下列数值P6.311(1).解：x+iy=è(x+iy)2=a+ibX2-y2+i2xy=a+ib得到：{X2-y2=aè4X44aX2-b2=0èx2=2xy=b}è4y4+4ay2-b2=0èy2=所以x==Ay==B=A+iBè-A-iBèA-iBè-A+iB(2)解：==ei(+)=èei(n=0)èei(n=1)èei(n=2)11(3)ii解：ii=[ei(+2nπ)]i=e-(+znπ)(4)==+znπ

12、(5)cos5φ解：cos5φ=Re(cos5φ+isin5φ)=Re(cos5φ+isin5φ)5=Re(cos5φ+5cos4φ(isinφ)+10cos3φ(isinφ)2+10cos2φ(isinφ)3+10cosφ(isinφ)4+(isinφ)5)=cos5φ-10cos3φsin2φ+5cosφsin4φ(7)cosφ+cos2φ+cos3φ+.....cosnφ解：原式=Re(eiφ+ei2φ+ei3φ+ei4φ......einφ)=Reeiφè括号中为等比数列，其前n项和为：eiφ=eiφ=eiφ=

13、eiφ=eiφ==11ei(nφ+)=cos(nφ+)+isin(nφ+)ei=cos+isin故上式==èReeiφ=(8)sinφ+sin2φ+sin3φ+.....+sinnφ解：原式=Im(eiφ+ei2φ+ei3φ+…..einφ)è=习题1.2P8：验证1.2.11-1.2.14式11而且①②①+②得方法二11而且①②①+②得方法二z=shzchzchzP82.计算下列数值。（a和b为实常数，x为实变数）(1).11(2).解：得①②11由②式得，则③把③代入①得既则有④⑤由④得因为，所以，则有，由⑤得因为

14、，所以，则有，综上可得习题1.3P12试推导极坐标系下的柯西--黎曼方程解：其中，由得得因为所以由得得11因为所以于是得极坐标系下的柯西--黎曼方程11