数理方法习题解答（方程部分）.doc

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1、作业参考答案3、在（）这个周期上，，试将它展开为傅立叶级数，又在本题所得展开式中置，由此验证解：因为在（）上满足狄氏定理，可以展开为傅立叶级数又所以所以令代入上式得:所以有得证275．（1）作奇延拓，展为奇函数（sin函数）6．（1）作偶延拓，展为偶函数（cos函数）所以要讨论k＝1的情况27（2）作偶延拓，展为偶函数（cos函数）8．矩形波在这个周期上可以表示为试将它展为复数形式的傅立叶级数解：因为在上满足狄氏定理，可以展开为复数形式的傅立叶级数又27当k＝0时，********************************

2、*********************************3．把下列脉冲展开为傅立叶积分解：在，满足狄氏条件，且绝对可积，所以可以展开为付氏积分。①同样，也可以展开为正弦付氏积分（奇函数）27②对①式进行展开就可以得到②。*********************************************1．长为l的均匀弦，两端固定，弦中张力为，在点，以横向力拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件。解：由稳定后放手知，初速度为0，即如图，设稳定后弦两端张角分别为和，弦受力平衡因为弦张角很小，所以，设高为H，

3、有在段，在段，2．长为l的均匀杆，两端受拉力作用而纵振动，写出边界条件。解：如图，对杆两端任意小的端点进行微元受力分析由虎克定律E为弹性模量令可得：27同理，可得：即为边界条件1．长为l的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为，写出这个热传导问题的边界条件。解：两端有热流流入为第二类边界条件。利用热传导定律，小块分析法左端取小块，流入流出能量守恒同除以SDt令e→0，Dt→0在右端，和均为流入小块，则由上面过程可知即为边界条件。P1889.1.3长为l的均匀杆，在端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b后静止，突然放手，任其振动，写出

4、方程及定解条件。解：杆的内部除自身弹性力外，无其他外力，故为齐次振动方程：边条件：左端固定，为第一类齐次边条件，右端放手后为自由振动，第二类齐次边条件：初条件：均匀杆被拉伸长度b，故每一x处离开其平衡位置的位移为初速度：静止后释放，为0，9.1.5长为l的细弦，两端固定，初位移为零，初始时刻在点受到一横向冲量I，试写出定解问题。27解：两端固定均匀细弦的自由振动，故为齐次振动方程：边条件：两端固定，均为第一类齐次边条件，初条件：初始时刻受到一冲量后会获得一速度，但还来不及运动，故初位移为零初速度：只在点有冲量，故只有点会有速度改

5、变，由冲量定理：，即P1939.2.2一半径为、密度为、比热为c，热传导系数为k的均匀圆杆，如果同一横截面上的温度相同，其侧面与温度为的介质发生热交换，且交换系数为H，导出杆上温度u满足的方程。解：因为同一横截面上的温度相同，故除两端点外，侧面符合冷却定律，内部符合傅立叶传热定律：设杆内任意一点的温度为u，小块分析法，取杆上任意一小段左端热流密度流入右端热流密度流出侧面冷却放出的热流密度：所以由能量守恒：即：得：************************************************P2202711.1.

6、3一根均匀两端分别处固定，设初速度为零，初始时刻弦的形状为抛物线，抛物线的顶点为处，求弦的振动。解：先写定解问题，齐次方程，第一类齐次边条件，初始速度为零初始位移为抛物线：带入三个点可得：即：①分离变量法令代入①中的方程及边条件得②和③解本征值问题②将ln代入③解Tn(t)得迭加特解得通解：27带入初始条件求通解，推出11.1.6长为的杆，上端固定在太空宇宙飞船的天花板上，杆身竖直向下，下端自由，当飞船以速度为下降时突然静止，求杆的振动。引力场忽略。解：杆上端固定，下端自由，所以上端为第一类边界条件，下端为第二类边界条件。又因为

7、静止前杆随飞船一起下降，所以各点的初始位移（离开平衡位置的距离）为0，而初始速度为，可以写出定解问题①分离变量法令代入①中的方程及边条件得②27和③解本征值问题②将ln代入③解Tn(t)迭加特解得通解：带入初始条件求通解得：11.1.7长为，杆身与外界绝热的均匀细杆，杆两端温度保持为零度，已知其初始温度为解：定解问题27①分离变量法令代入①中的方程及边条件得②和③解本征值问题②将ln代入③解Tn(t)得迭加特解得通解：带入初始条件求通解2711.1.8长为的杆，两端绝热，初始温度为，求其温度变化的规律。解：定解问题①分离变量法令

8、代入①中的方程及边条件，得②和③解本征值问题②将ln代入③解Tn(t)得迭加特解得通解：带入初始条件求通解27*********************************************************非齐次方程，齐次边界条件问题1．定解问