第六七章 线性空间与线性变换――习题课ppt课件.ppt

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1、第六、七章　线性空间与线性变换习题课１　线性空间的定义那么，就称为（实数域上的）向量空间（或线性空间），中的元素不论其本来的性质如何，统称为（实）向量．简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为向量空间．２　线性空间的性质３　子空间定义设是一个线性空间，是的一个非空子集，如果对于中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称为的子空间．定理线性空间的非空子集构成子空间的充分必要条件是：对于中的线性运算封闭．定义４　线性空间的维数、基与坐标定义一般地，设与是两个线性空间

2、，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间与同构．线性空间的结构完全被它的维数所决定．任何维线性空间都与　同构，即维数相等的线性空间都同构．５　基变换６　坐标变换７　线性变换的定义变换的概念是函数概念的推广．８　线性变换的性质９　线性变换的矩阵表示10　线性变换在给定基下的矩阵同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不同基下的矩阵．11　线性变换在不同基下的矩阵证一典　型　例　题.1,][)1)(2(,1,122在该基下的坐标并求向量的一组

3、基是证明xxxRxxx++---例1证二四、由基和过渡矩阵求另一组基.,,52,,,100110011)1,1,1(,)0,1,1(,)0,0,1(,3213213213213的表达式下在基并求所得到的新基通过过渡矩阵求由基中在bbbaaaabbbaaa+--=÷÷÷øöçççèæ--====ARTTT例2解五、过渡矩阵的求法解一由过渡矩阵的定义有整理得从上面的解法可以看到，由定义出发，利用解方程组，求出线性表达式中的系数，得到过渡矩阵，这种方法计算量太大，因此，当线性表达式不容易得到时，可采用下面的解法．解二引入一组新的

4、基解).,,(,),,,(),,(,)2(.,,)(,)1(.3212332213213xxxVxxxxxxxRVVV=Î+=+=aashahaas其中任意定义中在中一个固定的向量是中任意向量是其中定义中在线性空间性变换判断下列变换是否为线例3解.,,),2,1,0()(),1,0,0()(),1,0,2()(,)5,2,1(,)2,1,0(,)2,0,1(,3213213213下的矩阵在基求使得线性变换取基中在线性空间aaasasasassaaa==-===--=TTTR例4.,,),2,1,0()(),1,0,0()(

5、),1,0,2()(:)2,1,0()1,0,1()0,1,1()5,2,1()2,1,0()2,0,1(3213213213213下的矩阵在基求定义线性变换中取两组基在bbbsasasassbbbaaa==-=ïîïíì==-=ïîïíì==--=TTTTTTR例5解A=(E–A)=0

6、E–A

7、=0特征方程(characteristicequation)

8、E–A

9、=–a11–a12…–a1n–a21–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann特征多项式(characteristicpolyno

10、mial)E–A特征矩阵特征值特征向量1.特征值、特征向量概念定理(1)为A的特征值

11、E–A

12、=0.(2)为A的对应于的特征向量(E–A)=0,非零向量.求法理论依据求法步骤计算

13、E–A

14、求

15、E–A

16、=0的根求(E–A)x=0的所有非零解解:

17、E–A

18、=例5.求的特征值和特征向量.(–2)(–1)2.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,求得(2E–A)x=0的基础解系:p1=(0,0,1)T.对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).对于2=3=1,求得(E–A

19、)x=0的基础解系:p2=(–1,–2,1)T.对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).2.相似矩阵及其对角化定理Ann~对角矩阵1,…,n和线性无关的1,…,n,s.t.Ai=ii(i=1,…,n).P=(1,…,n),=diag(1,…,n),在此条件下,令则P1AP=.1)相似矩阵A~BP可逆,s.t.P1AP=B.2)相关定理定理Ann~对角矩阵Λ有n个线性无关的特征向量每个特征值代数重数等于几何重数最小多项式无重根。2.相似矩阵及其对角化1)相似矩阵

20、A~BP可逆,s.t.P1AP=B.2)相关定理定理1,2,…,m{11,…,1r,21,…,2r,…,m1,…,mr}12m线性无关推论1.对Ann,若r1+r2+…+rm=n，则A一定可以相似对角化;若r1+r2+…+rm