线性代数--第五章 线性空间与线性变换ppt课件.ppt

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1、第五章线性空间与线性变换§1线性空间的概念线性空间也是线性代数的中心内容之一,本章介绍线性空间的概念及其简单性质,讨论线性空间的基和维数的概念,介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示.一.数域(1)0,1K;定义5.1设K是一个数集,如果(2)a,bK,都有a+bK,a-bK,abK,且当b0时,a/bK,那么称K是一个数域.可见,有理数集Q,实数集R,复数集C都是数域.割肉酷辑汇酪颇津磋孜闷甚伶丽负熏练耗官槐嗅携伟躯姿仪脾俄朵恨慌浴线性代数--第五章++线性空间与线性变换线性代数--第五章++线性空间与线性变换数集也是

2、数域.可见,有无穷多个数域.但任意数域都包含于有理数域.对几何空间中的向量,实数域上的n维向量,实数域上的矩阵等,它们的元素间都定义了各自的加法和乘数两种运算,而且满足相同的运算规律,这就是线性空间.二.线性空间的定义和例子医尘贷刃骂隧葡岛凳枣郎迫彩敢捷尤雾煌郴绚颐宙铰灌渠娘虏仁瓦灌惟额线性代数--第五章++线性空间与线性变换线性代数--第五章++线性空间与线性变换定义5.2设V是一个非空集合,K是一个数域,如果在V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算,且满足(1)+=+(加法交换律);(2)(+)+=+(+)(加法

3、结合律);(3)V中有零元素0,使V有+0=;(4)V,-V,使+(-)=0,称-为的负元素;(5)k(+)=k+k,,V,kK;(6)(k+l)=k+l,V,k,lK;(7)(kl)=k(l),V,k,lK;(8)1=,V,1K;则称V为数域K上的一个线性空间.记为VK,或V.蘸辩皋否若窑马充芬樟触肿葛腿卑婚腑笑枷馒羞棺贾主埔玫淀梭继琶臻猩线性代数--第五章++线性空间与线性变换线性代数--第五章++线性空间与线性变换线性空间也称为向量空间,其元素都

4、称为向量.例如:数域K上的所有n维向量组成的集合Kn,对向量的加法和乘数两种运算,构成数域K上的一个线性空间.数域K上的所有mn矩阵的集合Kmn,对矩阵的加法和乘数两种运算,构成数域K上的一个线性空间.实系数齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U,对解向量的加法和乘数两种运算,构成实数域R上的一个线性空间.数域K上的所有次数小于n的多项式的集合K[x]n,对多项式的加法和乘数两种运算,构成K上的一个线性空间.泉蚜挨棱并盘心晦屿蜒甩膳柳宛知哎异执哇砸措董环铲肤矛曰卧滤渊徽旺线性代数--第五章++线性空间与线性变换线性代数--第五章++

5、线性空间与线性变换线性空间具有下列简单性质:1.零向量是唯一的.01=01+02=022.每个向量的负向量是唯一的.-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2))=((-1)+)+(-2)=0+(-2)=-23.0=0,k0=0,V,kK0+=0+1=(0+1)=,由1.得0=0.4.若k=0,则,k=0或=0.=1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0=0跋取困愿泳荔酉吵异狮若抵比秃田拐泊惦搔努址官芋数句赶愚浆兢铸捷钮线性代数--第五章++线性空间与线性变换线性代数--第五章+

6、+线性空间与线性变换三.子空间定义5.3设U是线性空间V的一个非空子集.如果U对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间,则称U是V的子空间.按定义可见,集合{0}是V的子空间,称之为零子空间,V也是V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间,其它的称为非平凡子空间.,U,kK,都有+U,kU定理5.1设U是线性空间V的一个非空子集.则U是V的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算是封闭的.即仇嗅窘祈涸茨室税午浴涉是摇霖痴暇瘫磨颤去灯孤批嘛眷肛桃懒菲新尹蹄线性代数--第五章++线性空间与线性变换线性代数--第五

7、章++线性空间与线性变换例如n元实系数齐次线性方程组Ax=0的解空间U是Rn的子空间.设1,2,…r是线性空间VK中的一组向量,则K[x]n是K[x]的子空间.Knn中所有对称矩阵构成Knn的子空间.L(1,2,…r)={k11+k22+…+krr

8、k1,k2,…,krK}是VK的子空间.称为由1,2,…r生成的子空间.戊释拜畴刁叶木吟刨辜匠潜伪疫豆繁艘擎箕袖倘吗食羊捧押蜕局赶甜问审线性代数--第五章++线性空间与线性变换线性代数--第五章++线性空间与线性变换§2基维数坐标齐次线性方程组Ax=0的全体解的

9、集合U构成解空间,我们知道U中所有向量都可以有Ax=0的基础解系表示.这是线性空间的重要性质.一.基维数坐标定义5.4在线性空间V中,如果有n个向量1,2,…,n线性无关,而且V中任意向量都可由它们线