线性代数--第五章++线性空间与线性变换

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1、第五章线性空间与线性变换§1线性空间的概念线性空间也是线性代数的中心内容之一,本章介绍线性空间的概念及其简单性质,讨论线性空间的基和维数的概念,介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示.一.数域(1)0,1K;定义5.1设K是一个数集,如果(2)a,bK,都有a+bK,a-bK,abK,且当b0时,a/bK,那么称K是一个数域.可见,有理数集Q,实数集R,复数集C都是数域.数集也是数域.可见,有无穷多个数域.但任意数域都包含于有理数域.对几何空间中的向量,实数域上的n维向量,实数域上的矩阵等,它们的元素间都定义了各自的加法和乘数两种运算,而且满

2、足相同的运算规律,这就是线性空间.二.线性空间的定义和例子定义5.2设V是一个非空集合,K是一个数域,如果在V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算,且满足(1)+=+(加法交换律);(2)(+)+=+(+)(加法结合律);(3)V中有零元素0,使V有+0=;(4)V,-V,使+(-)=0,称-为的负元素;(5)k(+)=k+k,,V,kK;(6)(k+l)=k+l,V,k,lK;(7)(kl)=k(l),V,k,lK;(8)1=,V,1K;则称V为数域K

3、上的一个线性空间.记为VK,或V.线性空间也称为向量空间,其元素都称为向量.例如:数域K上的所有n维向量组成的集合Kn,对向量的加法和乘数两种运算,构成数域K上的一个线性空间.数域K上的所有mn矩阵的集合Kmn,对矩阵的加法和乘数两种运算,构成数域K上的一个线性空间.实系数齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U,对解向量的加法和乘数两种运算,构成实数域R上的一个线性空间.数域K上的所有次数小于n的多项式的集合K[x]n,对多项式的加法和乘数两种运算,构成K上的一个线性空间.线性空间具有下列简单性质:1.零向量是唯一的.01=01+02=022.每个向量的

4、负向量是唯一的.-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2))=((-1)+)+(-2)=0+(-2)=-23.0=0,k0=0,V,kK0+=0+1=(0+1)=,由1.得0=0.4.若k=0,则,k=0或=0.=1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0=0三.子空间定义5.3设U是线性空间V的一个非空子集.如果U对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间,则称U是V的子空间.按定义可见,集合{0}是V的子空间,称之为零子空间,V也是V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间,其它的称为非平凡子空间.

5、,U,kK,都有+U,kU定理5.1设U是线性空间V的一个非空子集.则U是V的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算是封闭的.即例如n元实系数齐次线性方程组Ax=0的解空间U是Rn的子空间.设1,2,…r是线性空间VK中的一组向量,则K[x]n是K[x]的子空间.Knn中所有对称矩阵构成Knn的子空间.L(1,2,…r)={k11+k22+…+krr

6、k1,k2,…,krK}是VK的子空间.称为由1,2,…r生成的子空间.§2基维数坐标齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U构成解空间,我们知道U中所有

7、向量都可以有Ax=0的基础解系表示.这是线性空间的重要性质.一.基维数坐标定义5.4在线性空间V中,如果有n个向量1,2,…,n线性无关,而且V中任意向量都可由它们线性表示,则称1,2,…,n为V的一组基,n称为V的维数,V称为n维线性空间.仅含零向量的线性空间维数是零,如果V中有任意多个线性无关的向量,称其为无限维线性空间.如K[x].在线性代数中,只讨论有限维线性空间.可见,如果将线性空间V看成一向量组,所谓基就是V的一个极大线性无关组,所谓维数就是V的秩.K[x]n是n维线性空间,1,x,x2,…,xn-1是它的一组基.例如齐次线性方程组A

8、x=0的基础解系就是方程组解空间U的基,如果n元方程组的系数矩阵的秩为r,则U是n-r维线性空间.Rmn是mn维线性空间,如R23的一组基为:向量组1,2,…r的一个极大线性无关组,就是线性空间L(1,2,…r)的一组基,其维数就是向量组的秩.定理5.2设V是n维线性空间,如果V中向量组1,2,…,m线性无关,则在V中必有n-m个向量m+1,m+2,…,n,使得1,2,…,m,m+1,m+2,…,n是V的一组基.定义5.5设1,2,…,n是线性空间VK的一组基,如果VK可以表示为:由定理可见,含有非零向量的

9、线性空间一定存在基.基的重要性之一就是空间中每个向量