同济大学线性代数教案第五章线性空间与线性变换复习进程.doc

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1、同济大学线性代数教案第五章线性空间与线性变换精品文档线性代数教学教案第五章线性空间与线性变换授课序号01教学基本指标教学课题第五章第一节线性空间的定义与性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点线性空间与子空间的概念、线性空间的性质教学难点线性空间、子空间的判定参考教材同济版《线性代数》安玉伟等《高等数学定理方法问题》作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求了解线性空间和子空间的概念；了解线性空间的性质。教学基本内容一、线性空间的定义：定义1：设是一个非空集合，为实数域.对于任意两个元素，在中总有唯一确定的一个元素与之对应，称

2、为与的和，记作.对于中任一数与中任一元素，在中总有唯一确定的一个元素与之对应，称为与的数量乘积，记作.如果这两种运算满足以下八条运算规律(设):(i)加法交换律：；(ii)加法结合律：；(iii)在中存在零元素；对于任何，都有是；(iv)负元素：对于任何，都有是的负元素，使；(v)；(vi)；(vii)；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档(viii)；那么，就称为实数域上的线性空间.二、线性空间的性质：性质1零元素是唯一的.性质2任一元素的负元素是唯一的（以后将的负元素记作）.性质3.性质4如果，则或.三、线性空间的子空间：定义2：设是实数域上线性空间，是的一个非

3、空子集.如果关于的加法和数乘运算也构成线性空间，则称是的一个子空间.定理实数域上线性空间的非空子集成为的一个子空间的充分必要条件是关于的加法和数乘是封闭的.四、主要例题：例1次数不超过的多项式的全体，记作，即，对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.例2设集合是定义在区间上的连续实函数全体所成的集合，关于通常的函数加法和数乘函数的乘法构成线性空间.例3设收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档是实数域上的矩阵全体所成的集合.显然是非空的，对通常的矩阵加法和数乘构成线性空间.特别地，也是实数域上的线性空间.例4次多项式的全体对于通常的多项式加法和乘数运算不构成

4、线性空间.例5个有序实数组成的数组的全体对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法不构成线性空间.例6正实数的全体，记作，在其中定义加法及乘数运算为验证对上述加法与乘数运算构成线性空间.例7在实数域上线性空间中，对角矩阵所成的集合是的非空子集，且关于的加法和数乘是封闭的，所以是的一个子空间.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档授课序号02教学基本指标教学课题第五章第二节维数、基与坐标课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点线性空间的基、维数与坐标、基变换与坐标变换教学难点线性空间的基、基变换与坐标变换参考教材同济版《线性代

5、数》武汉大学同济大学《微积分学习指导》安玉伟等《高等数学定理方法问题》作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求了解线性空间的基、维数、坐标的概念；了解基变换与坐标变换；会求向量在给定基下的坐标。教学基本内容一、线性空间的基、维数与坐标：定义1：在线性空间中，如果存在个元素满足(i)线性无关；(ii)中任一元素总可由线性表示，那么，就称为线性空间的一个基，称为线性空间的维数，记作。只含一个零元素的线性空间称为零空间，零空间没有基，规定它的维数为0.维线性空间也记作.定义2：设是线性空间的一个基，对于任一元素，总有且仅有一组有序数组，使，这组有序数就称为元素在基下的坐标，并记作

6、.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档二、基变换与坐标变换设与是线性空间中的两个基，且(5-1)，则上式称为从基到基的基变换公式，矩阵称为由基到基的过渡矩阵.由于线性无关，过渡矩阵可逆.设中的元素在基下的坐标为，在基下的坐标为，且由基到基的过渡矩阵为矩阵，于是有坐标变换公式或.三、主要例题：例1在线性空间中，就是它的一个基，任一不超过4次的多项式都可表示为因此在这个基下的坐标为.例2在线性空间中，由于对任一向量有，且容易证明收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档线性无关，所以是的一个基，向量在这个基下的坐标就是.例3在中取两个基为，及，求从基到基的过渡矩阵，以

7、及任一不超过4次的多项式在这两组基下的坐标和坐标变换公式.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档授课序号03教学基本指标教学课题第五章第三节线性变换课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点线性变换的概念和性质、线性变换的矩阵表示教学难点线性变换的概念和性质、线性变换的矩阵表示参考教材同济版《线性代数》武汉大学同济大学《微积分学习指导》安玉伟等《高等数学定理方法问题》作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求了解线性变换的概念；会求线性变换的矩阵表示；了解线性变