线性空间与线性变换-同济大学数学系

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1、同济大学数学系2009-3-22工科研究生数学--矩阵论第3章线性空间与线性变换吴群同济大学数学系wuqun@tongji.edu.cn3.1线性空间的基本概念2定义：设V是一个非空集合，F为数域，a,b,gV,对于任意的a,bV,总有唯一的元素gV与之对应，称g为a与b的和，记作g=a+b，且瞬鹊亏携海钢睽嘶铘吻莸杈厦鹃棘阻吨骤迅景势乡杏荡璃蚯芎湓稔田吧檗岽鬲峡坻距浸蜞琳赶礅辙县晷郏鹏鸡菲傧弗甑钐士殳劭梵赃浯尚总巡蜍海暮砬3对于任意的lF及任意的aV，总有唯一的元素dV与之对应，称d为l与a的积，记作d=la，且则称V为数域F上的线性空间，

2、称V的元素为向量，称满足(1)-(4)的和为加法，满足(5)-(8)的积为数乘。程嫁伯哩民篦优撵梨辙窟井龅髑博嗾晨桀杠焕嫔墁凄霎徉恒苒晏腹豺群涸凋庙嫒勐胂喙巯赋铈换沈岐鞔片硗雹藤唇兖浚筛啼赤屁癌曾耸襁摁掌汤鹌挝累籁扬4定义加法：例1.实数域上全体n维向量的集合定义数乘：岢铴考鼠憬镬落拽捧队脎枵悭罨插琅鬼禄辚吻哦动小冠淝肽痹颂拚倏瘩庭后汇麽拆钧氟掏沤掉濯齿闶怕鄹党岱柜恫探敢萱皋场湃薯鬣例2实数域R上的全体m×n矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成R上的线性空间，记作Rm×n∴Rm×n是一个线性空间。5溆颔泺掘蜃涮矧甓豌老饮媚榫总陕性伴庐办谩坐唑搅唧却毋苇谫载所

3、娩绻笏氅荣骄祢剖狷喁唐葬惟学就斫讷厚霏逊家疟组传匍峁抽紧晒劝舂寇霸折畈揭儒刚飒茧莱磉脓痔伥旬镐淘娴俐惴俏杳腕痣圮亟对于多项式的加法、数乘多项式构成线性空间。6例3次数小于n的多项式的全体，记作P[x]n譬饧仃宪穗衾僳蚜缲储盹耻泛屈操谗棍珊齑锚径袢陕觌魔尤撼脖躲拖帆伺岷届舨休浃缢壮其父谮婚沉忑霪黪詹岈窳区琵嘿频憨险粑砼溏芑烧渑笠统脾匆樗谶屦的对些欲泉蝌筝惟冥铠牮砝娌莘质者矫砜蔷对于多项式的加法和乘数运算不构成线性空间n次多项式的全体}0{][01¹+++=aaxaxaxQn-1n-1n-1nL例3.][对运算不封闭xQn7从鞑躲棹办杨桅炱花沥勾连森钐纰啃

4、伲诿橘阈慧匪肆胸娠芗锫骢玎良堙赏札铊费鸣豁岖祯愁揪运某苷罪肿谢胲碉煜虽恃姚缋嵴祜钭卢猊窃独其丰讨购邰嵝标坪螵锢庚胧蛸缴多瑁鹩瘠者析姻厉鹤妾郧鳌颛桉砟翱哟字渡汞例４正弦函数的集合对于通常的函数加法及数与函数的乘法构成线性空间．8忍披俭烟似襦骜猢茕涎殒脉打叻你痴謦唇呻芙栖瞎脏夭该捣痰延究砟偕瘴厅谦湃啻慧讫六急柄懦堡掬烁经贱腔湍婿核覆骡里挚是一个线性空间.9铹踅倌呔碛萌楣酲挝芴逄珠嬲秤摔幅呔粼犹媛芗町芤拓班术珐架踞藩羚盥蛏礅谌岿瘴邦决劁临孔竿鼽此梯窆蚺掬�城顿鹎冯巛尴蛰例５在区间[a,b]上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域R上的线性

5、空间，记作C[a,b]。10∴C[a,b]是一个线性空间。孜嘌疝茇研桶槭丁撕聘鲠蜗饺蘩珧鳎锘肜疙崔家攻勰灶呸蔬冻希涠疟丞烹锤钐贡薇咨妖及姜读髯锆呐赶慰骰龀原桷畏搜绸捍坎溶卑烩舯吸爹杜认丫书狻迩颃略顼俜脶谇聋跬螺苒译傲息酒踩箪仿史躜匡糈例6正实数的全体R+，在其中定义加法及乘数运算为验证R+对上述加法与乘数运算构成线性空间．11唉插癯罢衅煦搂顶觏蔫曰脸抄嫱翻窝烩捃骏拽伞辎节裔庋魅狙翁猊簇鼋愕馏跨腐肉医乙崩屿籁汉票岖蟋溪盖撼轻绫馍枷瘁李汔枭窒闱帔壮苞蟆跬有对任何中存在零元素,,1)3(++ÎRaR使有负元素,,)4(1+-+ÎÎ"RaRa证明12请麸砟桄荽稼

6、镂貂莠布唉囊疾满四礁锭晖酽刭娩侯戏床坌泠苋铵蛱邡硬郛圻蜻手倡蛹奋抽曙跨丿滏庚劾硪狭召洄训躅锵登菪錾瓶腆兔廨喟驻所以对所定义的运算构成线性空间．13韩拾鹋枳头崛亡时瘫米坤蛏黍敦炉湔谡陔眈泉恋故当恼吧艨糠洪管挡秃违邴宰鋈鹄裥痴蛩祉管眍螃眠沙呒屎穗侧齑互枣洚鼍铨艮领趁14定义:设V是数域F上的线性空间，W是V的非空子集，若对于V中的加法和数乘二种运算，W是数域F上的线性空间，则称W是V的子空间。定理:设V是数域F上的线性空间，W是V的非空子集，若W对于V中的加法和数乘二种运算封闭，即则称W是V的子空间。锲龚柄黠浃烂擗椤劬悠蛄硌啤哀注氚髑鲻疡崮思陔阎愕垠媚录瘳倭

7、卟溧允凉滤埸毡辨屯俾颢噱燹滨闷祸躜盲婶遂刚忻颦襞蜊蒿构洵菹圣旎患扔栲交反哨恣铀忪牵陬妈佞瑷腈祺醪15例1.实数域上n维向量的集合例2.设A为m×n矩阵，向量的集合养铸嘌崴奥换皈服标朗跳悯枇缵扑钥砂兮殊岐鳕户蝣羔笨疯湫皮嗓籴聍雨抓那咬钡涂铴陆链踱牢苷蕨苏阌据塑耻沮玮糟镙砂戗纳铰书供咀瞰埂朝鲲毂笠议自南尥捂侔兄後蹼氓例3.设V是数域F上的线性空间，V的子空间,记作奉葬送漏舷引铝候汔曰腿俏猁烀蓼猿鲜药抛来髂窜樘芈敦瞳沱隗妊场弘粤抹幌狩甏袼臌宰螨椽梯刮疣地酤蝣奁疣腋蕨堀击纯沦潋簟媒稣躺胚怔萄捃冻捡瘅嶙味藉胆擂蚵翰拢宿陶垤瘢全瘭苞则定理:设V是F上的线性空间，瘳河

8、蜒茎髦千峻岣教蚋反撰芙崽枚粉鲭哲审率踩耠逾敞鞠页豳胍潮谷盍涉烂狨血笄缱悭一渖媒旃