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《2016数学分析2复习题答案(级数部分).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、级数一、数项级数1.级数收敛的定义为：(1).用定义判别的敛散性.解，故发散.(2)证明:若收敛,且,则级数收敛.证明设的和为S，与的部分和分别为，则于是又，从而故收敛，即收敛.2.级数收敛的柯西准则为：(1)用柯西收敛准则证明：若，收敛，则级数收敛，其中为常数.3.级数收敛的必要条件为：如：判别的敛散性:4.收敛级数的性质（简述）如：5.级数部分和数列有界是级数收敛的必要条件,部分和数列有界是正项级数收敛的充要条件.如证明：若单调减少，且，则级数收敛.证明情形1由已知级数,收敛.情形2单调减少，设的部分和为，则即此正项级数的部分和数列有界，于是级数收敛.6.重要比较标准：；;7.叙述正项级
2、数比较法及其极限形式、比式法与根式法的极限形式、积分判别法，并判别敛散性：(1)解或(1)解设，则，由比式判别法，发散.(2)解(3)解(4)解(5)解，级数发散.p>0时，而p=1时,,发散.p¹1时,故在8.绝对收敛与条件收敛的定义为：条件收敛的级数本身一定收敛.(1)若绝对收敛，则必定收敛；若条件收敛，则必定发散.(2)证明：若与都收敛，则收敛.证明于是(6)设绝对收敛，证明：也绝对收敛.证明由收敛，知收敛从而有界，即于是，故绝对收敛，从而收敛.9.叙述交错级数的莱布尼茨判别法；叙述狄利克雷判别法及阿贝尔判别法；简述绝对收敛级数的性质.判别下列级数判断下列级数的收敛性，并指出是绝对收敛
3、还是条件收敛：(1)解由于～,发散，所以发散.又单调减少趋于零,所以收敛,原级数条件收敛.(2)解{}单调减少趋于零，由狄利克雷判别法原级数收敛，同理可证但从而发散，即原级数条件收敛.(3)解由Leibniz判别法收敛，单调有界，由阿贝尔判别法，原级数收敛，但即原级数条件收敛.(4)解从而原级数绝对收敛，也收敛.(5)，其中，且解由，知记，于是从而原级数收敛,即原级数条件收敛.(6)解.1)2){}单调有界，由阿贝尔判别法原级数收敛，但从而即原级数条件收敛.3)解,故绝对收敛,而条件收敛，故原级数条件收敛.二、函数列及其一致收敛性1.极限函数、收敛域2.在数集一致收敛于的定义;叙述函数列一致
4、收敛的柯西准则及确界极限法(13.1,13.2）.(1),，.；(2)判别一致收敛性1)在R解（），故在上一致收敛.2)在;在解，，故在上一致收敛.在上不一致收敛.3)解（），故在上不一致收敛.另解，又故即于是在上不一致收敛.3.一致收敛函数列的性质(1)若的每个函数都在连续,且,则(A)A、当在上间断时,在上不一致收敛;B、当在上连续时,在上一致收敛;C、当在上不一致收敛时,在上间断;D、在上有界.(2)证明：若在R一致收敛于,且,在R一致连续，则在R也一致连续.证明由已知在上一致收敛于，有.从而对有及.由在R一致连续，只要，此时，即在R也一致连续.三、函数项级数1.收敛域、和函数的定义为
5、2.函数项级数的一致收敛与不一致收敛及其判别(P33-37）(1)叙述函数项级数在数集D一致收敛的定义(2)叙述函数项级数一致收敛的柯西准则(3)叙述函数项级数一致收敛的必要条件(4)叙述M判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，并判别一致收敛性：1).在R解当时，，由于收敛，由M判别法，原级数在R上一致收敛.2).在解当，时，，而由比式判别法，收敛,从而由M判别法，原级数在R上一致收敛.3).在R解当时，，级数收敛，从而由M判别法，原级数在R上一致收敛.4).在R解设，，则对固定的关于是单调的，且即在上一致收敛于零，同时，由狄利克雷判别法，在上一致收敛.3.叙述和函数的连续性、可积性、可微性
6、定理(1)证明：函数在上连续可导，并求解由于，而收敛，由M判别法，在上一致收敛，而每项在连续，所以在上连续.由上知在上收敛，在上连续,且，由M判别法，在上一致收敛，从而在上可导，.(注本题也可只证可导性)(2)证明：函数在上内闭一致收敛、可积；并计算.证，当，有，而，于是收敛，由M判别法，在上一致收敛，即在上内闭一致收敛，又每项在连续，所以在上可积.(3)证明：函数并求其积分.证于是上一致收敛，又每项在连续，所以0.4.总结求和函数方法并求和函数：（1）解.对于，，当时，级数收敛，当时，级数发散，当时，级数通项不趋于0，发散，于是级数的收敛域为.同理可求的收敛域为.令则于是于是原级数的收敛域
7、为，且（2）解，当时，级数收敛，当时，级数发散，当时，级数为，由莱布尼兹判别法收敛，于是级数的收敛域为.令当当，则，故又于是从而(3)解于是级数的收敛域为.令，于是和函数四、幂级数1.叙述阿贝尔定理：(1)已知在处发散，则其在处（C）(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(2)设幂级数在点处收敛,则(B)(A)在点x=3处绝对收敛(B)在点x=2处绝对收敛(C)在点x=3处收敛(D)在点x=4处发散.2.求收
