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1、第二章线性连续系统的运动分析给定问题:线性系统响应：①自由运动（零输入响应）；②强迫运动（零状态响应）。§2-1线性系统的运动分析响应为：通常t0=0,即给定：响应为：eAt称为矩阵指数函数。⒈自由运动考虑u(t)=0.证明(＊)式:设代入方程eAt对任何Ａt都收敛。⒉矩阵指数eAt的性质证明：(1)按定义，先证明(3)、(4)，可套出(2)。(2)在性质(4)中，令t1=t,t2=-t(7)对于非奇异阵M,有(M-1AM)k=M-1AkM因此，3.强迫运动一般情况：系统（完全）响应：§2-2的计算方法方法1:Laplace变换法考虑取
2、Laplace变换：定义知(t)=eAt(t)=eAt—线性定常系统的状态转移矩阵。因此有:例:已知系统矩阵试用拉氏变换法求eAt.对上式取拉氏反变换即得:方法2:无穷级数法在一些特殊情况下，可利用eAt的定义来求得解析解。则根据eAt的性质(3)，有例:已知系统矩阵试用无穷级数法求eAt.方法3:特征值与特征向量法（特征值相异）↘关键：求非奇异变换阵M变换为对角线规范型。例:试将状态方程解：Ⅰ.求特征值：Ⅱ.求特征向量和变换矩阵Mλ=-1对应的e1例:特征向量特征多项式：特征方程：i(i=1,2,···,n)是A的特征值。当A为某系统则i
3、就是该系统的自然频率（振型，模态），满足方程的系统矩阵时，列向量ek称为对应于特征值k的一个特征向量；[kI-A]称为A的特征矩阵。定理若A=(ij)nn有几个相异的特征值1,1,···,n,则其中M=[e1，e2，···,en]——模式矩阵。ek为k(1≤k≤n)的特征向量。证：求ek的一种方法其中，的第j行第m列的代数余子式上述结论的原理:i)都是齐次方程的解因此，只差一个系数，即ii)按Laplace行列式展开公式又，齐次方程有非零解因此，总有即：（*）式总成立——jm(m=1,···,n)，按第j行展开的n个代数余子式。例
4、特征值：特征向量求取：任选j=1，得：选j=2，得:方法4:待定系数法当用待定系数法求距阵指数eAt时，会涉及到以下三个问题：(1)凯利—哈密(Cayley-hamilton)定理依次类推An,An+1,An+2都可以用An-1,An-2，…，A，I的线性组合来表示。如此可得出如下结论：A的所有等于和大于n的高次幂都可以用A的（n-1）次多项式来表示。改写成有限项表达式，这是因为当kn时的所有高次幂项都是不独立的，即都可以用An-1,An-2…A，I的线性组合来表示。只不过我们要确定这种组合中的各个系数而已。(2)矩阵指数函数eAt的有限项表达式
5、根据以上分析，有(3)待定系数i(t)(i=0,1,,n-1)的计算公式证明根据剀利—哈密顿定理可知，A和都是满足自身的特征方程，这就是说，A和是可以互换的。因此，A的所有特征值1,2,n,都应满足eAt的有限项表达式，即有解此方程组即得证。例已知系统矩阵等于试用待定系数法求eAt。解(1)求A阵的特征值(3)求eAt2)A阵具有n重特征值的情况此结果与用拉氏变换法计算结果(幻灯片12、13)相同。当A阵具有n重特征值1时，则计算待定系数的公式为证明:同上述理由，有将上式对1求导一次得将上式再经1求导一次得依次类推，可得
6、即这样可列出关于的n个方程：解此方程组，即可得证。例已知系统矩阵试用待定系数法求eAt。解(1)求A的特征值(2)求待定系数(3)求eAt3)A阵同时具有重特征值和互异特征值的情况当A阵同时具有重特征值和互异特征值时，则可根据上述1）、2）两种情况分别求出待定系数，然后将它们代入有限项表达式，即可求出eAt。例已知系统矩阵试用待定系数法求eAt。解(1)求A的特征值(2)求待定系数对于二重特征值1=2，可得对于单特征值3=3，可得解以上三个方程或直接利用公式可得(3)求eAt将上述所求得的a0(t),a1(t),a2(t),代入有限项表达式，得
7、化为规范形两例例已知系统矩阵试用约当标准形法求eAt。解(1)求A的特征值(2)选定非奇异变换阵本例A为友矩阵（标准形）故可选定非奇异变换阵(3)求eAt例已知系统矩阵试用约当标准形法求eAt。解(1)求A的特征值(2)选定非奇异变换阵为分块对角线阵。式中(2)求eAt而根据矩阵指数函数性质，可得故可将上式改写成再根据约当标准型(下节介绍)和对角线标准型，可得与用待定系数法所求的结果完全相同。由状态转移矩阵求系统矩阵在已知状态转矩阵Ф(t)情况下确定系统矩阵A，通常有如下几种方法：1)证明2)证明因为所以当t=0时，,证毕。3)拉氏变换法这样即可求出
8、矩阵A。例已知系统的状态转移矩阵为试求系统矩阵A。解〈解法1〉〈解法2〉〈解法3〉§2-3Jordan规范形
