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《实变函数第二章---点----集.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章点集§1.度量空间，n维欧氏空间.设是一个集合，若对于中任意两个元素都有唯一确定的实数与之对应，满足：（非负性）对任意的（三点不等式）则称之间的距离，称为度量空间，X中的元素称为点.注：(1)由，可以推出距离具有对称性：(2)子空间：若为度量空间，也是一个度量空间，称为的子空间.(3)度量空间的例子及其性质见第七章.维欧氏空间定义为，中两点的距离定义为易证，对任何满足：（1）（非负性）（2）（对称性）（3）（三点不等式）注1.从三点不等式可以推出，是的二元连续函数，即当（当时）注2.对任何的模（或长度）定义为，是的原点.注3.在中也可以定
2、义其它的距离，例如：，其中但以后所说的中的距离一般是指..设，称为的邻域.或记为.邻域的性质：；；；.设.如果，称点列收敛于,记为.注1.点列收敛于P0等价于：点列的坐标序列收敛于P0的坐标;注2.点列收敛于等价于：对于的任何邻域，存在,当时，有..两个非空的点集的距离定义为..一个非空的点集的直径定义为..设如果,称是有界集.注1.中点集是有界集等价于：存在注2.中点集是有界集等价于：存在常数,对所有都有.注3.中点集是有界集等价于：存在常数,对所有,有..中的开区间定义为点集，闭区间定义为点集，类似地定义左开右闭或左闭右开区间.记为,体积.
3、§2.聚点，内点，界点设，则与有三种可能的关系：（1）在的附近没有的点.（2）的附近全是的点.（3）的附近既有的点，又有不属于的点..若存在的一个邻域，则称为的内点.这时，.若是的内点，则称为的外点.这时，.若对任何，则称为的界点.注：的界点不一定属于..设若对任何，则称为的聚点.注1：的聚点不一定属于.注2：有限点集没有聚点.注3：的内点一定是的聚点.的聚点不一定是的内点.的聚点有可能是的界点..(1)为的聚点.(2)对任何内含有中无穷多个点.(3)存在各项互异的点列.即：..若则称为的孤立点.这时但是不是的聚点.若集合的每一点都是孤立点，则
4、称是孤立点集.注1：是孤立点集表示的聚点全体.注2：的界点不是聚点就是孤立点注3：若一个点集没有聚点，即，则称它是离散集.离散集是孤立点集，反之不一定.如例1.注4：空集没有聚点，也没有孤立点..设，有(1)的内点全体称为的开核，记为；(2)的界点全体称为的边界，记为；(3)的聚点全体称为的导集，记为；(4)称为的闭包，记为。.正整数集,每个都是的孤立点，是孤立点集.且.设为中的有理数集，则..设..设.闭包可以表为其它形式：.设则以下三条等价：(1)(2)对任何(3)存在E中的点列闭包与开核的对偶关系：证明：前一个式子.不是E的内点中含有不属
5、于E的点中含有不属于E的点.设.证明另一方面，设由根据定理1，存在一列互异的点中至多有有限多个属于A,其余无穷多个都是属于B的.根据定理1，.所以，.(1)中的孤立点集是至多可数集合.(2)设A是中的非空集合，则.(3)设A是中的非空集合，若..设，是一个有界的无穷集合，则..设..中的有界点列必有收敛子列.§3.开集，闭集，完备集定义1.若即E的每一点都是的内点，称是开集.注1..注2.是开集.例1.在是开集（在中就不是）.例2.不是开集.例3.在中，是开集.不是开集.例4.设上的连续函数，则对任何实数,集合是开集.证明：设连续，有,.即存在
6、即的内点.由的任意性知,是开集.注:例4中的可以换成开区间.定义2.设.即的每一个聚点都属于,称是闭集.注1:是闭集.注2:是闭集包含了其所有的聚点.注3:是闭集若是中收敛点列的极限，则必属于.注4:是闭集.有限集合是闭集.例5.在是闭集.不是闭集,有理数集合不是闭集,无理数集合不是闭集.例6.在中，是闭集，是闭集.注5:是闭集.定理1.对任何.证明：证.设非空.，存在邻域.下证.对任意的，存在使.再证是闭集.要证.设非空..的聚点，在内，至少含有一个属于而异于的点.因为,所以又有属于.所以在内，至少含有一个属于.即.所以是闭集.最后证是闭集.
7、.是闭集.定理2证明：要证.设E是开集，.在的任一邻域都有属于的点，即在的任一邻域都有不属于的点，所以不是的内点..要证设是闭集,则在的任一邻域内至少有一个不属于的点，即在的任一邻域内至少有一个属于的点，而且这个点又异于因为.矛盾.所以注1:开集与闭集有对偶关系.注2:开集减闭集，差是开集；闭集减开集,差是闭集.定理3任意多个开集的并是开集；有限多个开集的交是开集.证明:设是一个开集族，.设.则存在某一个所以的每一点都是的内点，所以是开集.注:任意多个开集的交不一定是开集.例.是直线上一列开集，但是是闭集.定理4任意多个闭集的交是闭集；有限多个
8、闭集的并是闭集.证明：设是闭集...所以是闭集.设都是闭集.，所以是闭集.注:任意多个闭集的并不一定是闭集.例.是直线上一列闭集，但是不是闭集.下面考
