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《2.5实变函数与泛函分析-点集》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五节Cantor集第二章点集Cantor集对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集Cantor集第n次去掉的开区间留下的闭区间12n⑴定义：令称P=[0,1]-G=[0,1]∩Gc为Cantor集Cantor集的性质1.分割点一定在Cantor集中Cantor集P=[0,1]-G=[0,1]∩Gc为闭集注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间2.P的“长度”为0，去掉的区间长度和3.P没有内点()x-εxx+ε第n+1次等分去
2、掉的区间第n次等分留下的区间但由Cantor集的作法知，我们要对其继续三等分去掉中间一个开区间，从而内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。证明：对任意x∈P,x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中4.P中的点全为聚点,从而没有孤立点从而x为P的聚点，当然不为孤立点。证明：对任意x∈P，只要证：由Cantor集的作法知而的两个端点定在P中，第n次等分留下的区间()x-δxx+δCANTOR集6大性质：是测度为零、基数为c的疏朗完备集.定义1.稠密集、疏朗集（补充）1.）稠密集2.）疏朗集结论
3、5.CANTOR完备集是疏朗集 结论6.P的基数为CSierpinski垫的维数是log3/log2Cantor集的维数是log2/log3参见：《分形对象：形、机遇和维数》B.Mandelbrot;《实迭代》张景中；《数学的源与流》张顺燕；《集合与面积》李惠玲;分形艺术:http://www.fractal.com.cn;分形频道http://www.fractal.net.cnKoch曲线的维数是log4/log3面积有限但边界线无限长(4/3)n的极限（20世纪上半世纪）有限维到无限维(泛函分析)（20世纪下半世纪）有限维到分数维(
4、分形几何)Mandelbrot集合Mandelbrot集合局部放大Nova分形Newton分形3.点集间的距离b.若,则d(A,B)=0;反之则不一定成立，如A={n-1/n},B={n+1/n}（都是闭集）c.d(x,B)=0当且仅当注：a.若x∈B,则d(x,B)=0;反之则不一定成立，如x=0,B=(0,1)证明：利用d(x,E)≤d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)z∈E定理1设E为Rn中非空点集，则d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数.所以d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数。可得d(x,E)≤d(x,y)+d(y,E
5、)，同理d(y,E)≤d(x,y)+d(x,E),故有
6、d(x,E)-d(y,E)
7、≤d(x,y)定理2：设A为非空闭集，x∈Rn，则必有y∈A,使得d(x,y)=d(x,A)闭集：与E紧挨的点不跑到E外，也即E外的点与E不可能紧挨又Ａ为闭集，故y∈A,对两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)证明：由可得定理3.：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有x∈A,y∈B,使得d(x,y)=d(A,B)由于A有界，故证明：由ABA有界不可少，如A={n-1/n},B={n+1/n}又B为闭集，故y∈B,另外对两边关于j取极限得d(x,y)=
8、d(A,B)又A为闭集，从而x∈A，并可得{yni}有界因为当ni充分大时，d(x,yni)≤d(x,xni)+d(xni,yni)≤1+(d(A,B)+1/ni）例：设F为R1中的有界闭集，G为开集且 则存在δ>0，使得当
9、x
10、<δ时，有证明：由于F为R1中的有界闭集，G为开集,故d(F,Gc)>0,取δ=d(F,Gc)即可.([F])G定理4.设F1，F2为Rn中两个互不相交的非空闭集，则存在Rn上的连续函数f(x)，使得（1）0≤f(x)≤1，x∈Rn（2）f(x)=0，x∈F1;f(x)=1,x∈F2注：可推广到一般的拓扑空间（参见
11、：拓扑学教材p168.），即Urysohn引理.F2F1定理5：设F为Rn中的非空闭集，f(x)为定义在F上的连续函数且
12、f(x)
13、≤M（x∈F），则存在Rn上的连续函数g(x)满足
14、g(x)
15、≤M，且g(x)=f(x),x∈F证明：参见：周民强，实变函数p-50注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学教材p173），即Tietze扩张定理，需用Urysohn引理证明F
