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1、实变函数试题库及参考答案本科一、题1．设为集合，则（用描述集合间关系的符号填写）2．设是的子集，则（用描述集合间关系的符号填写）3．如果中聚点都属于，则称是闭集4．有限个开集的交是开集5．设、是可测集，则（用描述集合间关系的符号填写）6．设是可数集，则=7．设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测集，则称在上可测8．可测函数列的上极限也是可测函数9．设，，则10．设在上可积，则在上可积11．设为集合，则（用描述集合间关系的符号填写）12．设，则=（其中表示自然数集的基数）13．设，如果中没有不属于，则称是闭集14．任意个开集的并是开集15．设、是
2、可测集，且，则16．设中只有孤立点，则=17．设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测，则称在上可测18．可测函数列的下极限也是可测函数19．设，，则20．设是上的单调增收敛于的非负简单函数列，则21．设为集合，则22．设为有理数集，则=（其中表示自然数集的基数）23．设，如果中的每个点都是内点，则称是开集24．有限个闭集的交是闭集25．设，则026．设是中的区间，则=的体积27．设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测集，则称在上可测28．可测函数列的极限也是可测函数29．设，，则30．设是上的非负可测函数列，且单调增收敛于，由勒维定理，有31
3、．设为集合，则=32．设为无理数集，则=（其中表示自然数集的基数）33．设，如果中没有不是内点的点，则称是开集34．任意个闭集的交是闭集35．设，称是可测集，如果，36．设是外测度为零的集合，且，则=37．设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测，（）则称在上可测38．可测函数列的上确界也是可测函数39．设，，则40．设，那么由黎斯定理，有子列，使于41.设为两个集合,则.（等于）42.设,如果满足(其中表示的导集),则是闭.43.若开区间为直线上开集的一个构成区间,则满(i)(ii)44.设为无限集.则的基数(其中表示自然数集的基数)答案：45
4、.设为可测集,,则.答案：46.设是定义在可测集上的实函数,若对任意实数,都有是可测集上的可测函数.47.设是()的内点,则.答案48.设为可测集上的可测函数列,且,则由____黎斯__定理可知得,存在的子列,使得.49.设为可测集()上的可测函数,则在上的积分值不一定存在且在上不一定可积.50.若是上的绝对连续函数,则是上的有界变差函数.51．设为集合，则答案=52．设，如果满足（其中表示的内部），则是开集53．设为直线上的开集，若开区间满足且，则必为的构成区间54．设，则的基数=(其中表示自然数集的基数)55．设为可测集，且，则答案=56．设
5、是可测集上的可测函数，则对任意实数，都有是可测集57．若是可数集，则答案=58．设为可测集上的可测函数列，为上的可测函数，如果，则不一定成立59．设为可测集上的非负可测函数，则在上的积分值一定存在60．若是上的有界变差函数，则必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差）多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设，则（ACD）是不可数集是闭集中没有内点2．设是无限集，则（AB）可以和自身的某个真子集对等（为自然数集的基数）3．设是上的可测函数，则（ABD）函数在上可测在的可测子集上可测是有界的是简单函数的极限4．设是上的有界函数，且黎曼可积，
6、则（ABC）在上可测在上可积在上几乎处处连续在上几乎处处等于某个连续函数5．设，如果至少有一个内点，则（BD）可以等于可能是可数集不可能是可数集6．设是无限集，则（AB）含有可数子集不一定有聚点含有内点是无界的7．设是上的可测函数，则（BD）函数在上可测是非负简单函数列的极限是有界的在的可测子集上可测8．设是上的连续函数，则（ABD）在上可测在上可积，且在上可积，但在上有界9．设是狄利克莱函数，即，则（BCD）几乎处处等于几乎处处等于是非负可测函数是可积函数10．设，，则（ABD）是可测集的任何子集是可测集是可数集不一定是可数集11．设，，则（A
7、B）当是可测集时，是可测函数当是可测函数时，是可测集当是不可测集时，可以是可测函数当是不是可测函数时，不一定是可测集12．设是上的连续函数，则（BD）在上有界在上可测在上可积在上不一定可积13．设在可测集上可积，则（AC），都是上的非负可积函数和有一个在上的非负可积在上可积在上不一定可积14．设是可测集，则（AD）是可测集的子集是可测集的可数子集是可测集15．设，则（CD）几乎处处收敛于一致收敛于有子列，使于可能几乎处处收敛于16．设是上有界函数，且可积，则（BD）在上黎曼可积在上可测在上几乎处处连续在上不一定连续17.设,则(CD)（A）是可数
8、集 （B）是闭集 （C）中的每个点均是聚点 （D）18. 若()至少有一个内点，则（BD）（A）可以等于０ （B） （C）可能是可数集
