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《实变函数答案第三版第二章点集.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二章点集'1、证明：P0E的充要条件是在任意含有P0的领域P,（不一定以P0为中心）中，o恒有异于P0的点P1属于E（事实上，这样的P1还有无穷多个）；P0E的充要条件则是有含有P0的领域P,（同样，不一定以P0为中心）存在，使P,E.'证明:若PE，对任意含有P的领域(P,)，取mindP,P,dP,P,00100则(P0,1)(P,),而(P0,1)中含有异于P0的点P1E，所以(P0,）中存在异于P0的点P1E.若任意一个含有P0的领域(P,)中有
2、异于P0的点P1E，则任一'（P0）也有异于P0的点P1E，故P0E.o若P0E，则存在（P0）E，使（P0）=（P，）即得证.若P0(P,)E，o取1mindP,P0,dP,P0，则有(P0,1)(P,)E，从而P0E.4、设E3是函数1sin,当x0,yx0,当x0o2'的图形上的点所作成的集合，在R内讨论E3的E3与E3.'解：E3=E30，y1y1oE.8.设（fx）是（-，+）上的实值连续函数，则对于任意常数a,E={x
3、f(x)>a}是一开集，而E={x
4、f(x)a}总是一闭集。证明：任取xoEx
5、fxa,则f(xo?)a,由fx在xo处
6、连续及极限的保号性知，存在0,当
7、xxo
8、时,有fxa,即(xo,)Ex
9、fxa,即xo为E的内点，从而E为开集；c类似可证x
10、fxa为开集,从而H{x
11、fxa}x
12、fxa是闭集.又要证H{x
13、fxa}是闭集，只需证HH.任取xoH'{x
14、fxa}',则存在H中的点列{xn},使得由fx在xo处连续及f(xn)a，可知f(xo)a,所以xo{x
15、fxa},从而{x
16、fxa}是闭集.9.证明：每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集可以表示成可数个闭集的和集。1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
17、⋯1证明：设F为闭集，令Gnxd(x,F),n1,2,...n111对x0Gn,d(x0,F).令0d(x0,F),任意取x(x0,),有d(x,x0)d(x0,F),nnn1因此d(x,F)d(x,x0)d(x0,F),则有xGn,即(x0,)Gn，故Gn为开集.n1设xGn,则d(x,F),取极限得d(x,F)0.所以xFF,即GnF.另外，对任意的xF,n1nn11d(x,F)0,所以xGn,即FGn,从而FGn.因此GnF,F是可数个开集的交集。nn1n1设G为开集，则cG为闭集，可知，存在开集Gn，使得cGGn,所以GcGncGn,而n1n
18、1n1cGn为开集，因此G是可数个闭集的和集.11.证明：f(x)为a,b上连续函数的充分必要条件是对任意实数c,集E={x
19、f(x)c}和E1={x
20、f(x)c}都是闭集.证明：只要证明充分性假如f(x)在某点x0a,b处不连续，则0,xnx0,xnR,从而xn{x：f(x)f(x0)}或xn{x：f(x)f(x0)}，不妨令c=f(x0)，xnE{xf(x)c}为闭集，可知xE,得到矛盾，所以f(x)连续.013、设fx是定义在R上的函数，则fx在其上连续的充分必要条件是：对任意开1集G，点集fGx:f(x)G是开集.11证明：必要性：对任意开集
21、GR，不妨设f(G),x0f(G),f(x0)G,因为G是开集，0,(f(x0),)G,又f(x)在x0处连续，0,x(x0,),f(x)(f(x0),)G，111从而，xf(G),因此(x0,)f(G)，故f(G)为开集.111充分性：x0R，0,G(f(x0),f(x0))是R的开集，故f(G)是开集且x0f(G),1从而0,(x,)f(G)，于是xU(x,),f(x)G,即有f(x)f(x).故f在x处连续.00002011级1班何沁萌2220113140111452
