实变函数教案ch2点集拓扑

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1、第二章　点集拓扑§2.1.n维欧氏空间、度量空间、拓扑空间的概念定义2.1.1．，，定义为．称d为上的Euclid距离．易证距离d满足：．；　．；X．，．r.xA定义2.1.2．(距离空间，MetricalSpace)xyX为非空集合，二元函数满足：．非负性：；　．对称性：；．三角不等式：．称d为X上的一个距离，为距离空间或度量空间．如，称为距离子空间．，开球：；闭球：．开集：．，球，称x为A的一个内点．如A中每个点都是内点，则称A为开集．开球是开集；中第一象限区域（不含坐标轴）是开集．记中开集全体为，则有如下结论．定理2.1.1．(1)；(2)

2、；(3)．例：(1)离散空间．，定义．　称X为离散距离空间．(2)空间．．，定义，　d是距离．(3)有界函数空间．，．定义，()，d是距离．称为有界函数空间．取，记．，．定义2.1.3．设，满足：(1)；　　　　　　　　(2)对于有限交运算封闭：；(3)对于任意并运算封闭：．称为X上的一个拓扑(Topology)，X上安装了拓扑，是拓扑空间(TopologicalSpace)．每个称为开集．如，令，称为（拓扑）子空间．例：(1)度量空间是拓扑空间，称为由距离d诱导的拓扑．(2)设，，称是平凡拓扑空间．(3)设，，称是离散拓扑空间．(4)，令，则成

3、为拓扑空间．§2.2.拓扑空间中的基本概念　　设是拓扑空间，．定义：(1)若是开集，称A为闭集．(2)A的闭包(包含A的最小闭集)．(3)若，G是开集，称G为x的一个邻域．邻域G，使，称x为A的内点．A的内点全体称为A的核（内部），记为．（书(3)错）(4)的邻域G，有，，称x为A的边界点．A的边界点全体称为A的边界，记为．显然，，，互不相交，．(5)的邻域G，有，称x为A的聚点．A的聚点全体称为A的导集，记．(6)，称x为A的孤立点．(7)若，称A为完全集（完备集）．(8)若，称A为疏朗集（无处稠密集）．A不在任何开集中稠密．(9)，若，称A在

4、B中稠密．它等价于：．(10)型集A：，闭集)；型集B：，开集)．(11)设B在A中稠密，，称A为可分集．若X可分，称X为可分空间．(12)若，疏朗)，称A为第一纲集；否则称A为第二纲集．(13)设为度量空间，．若存在球，使，称A为有界集．设．若，称B为A的一个．若，A具有有限的B，称A为完全有界集．注：可取有限的．如：球是完全有界集．(14)设，若，使．称收敛于x，记或．极限是唯一的；收敛点列是有界集．(15)设为度量空间，．若A中任一点列都存在收敛于X中点的子列，称A为列紧集．如：欧氏空间中的有界集是列紧集．(16)设，是开集族．若，称为A的

5、一个开覆盖．若A的任一开覆盖，存在有限子覆盖：，称A为紧集．若空间X紧，称X为紧空间．(17)设为度量空间，，则称为Cauchy序列（基本列）．若X中每个基本列均收敛，称X是完备的度量空间．如：收敛点列必是基本列．是完备的度量空间．　　以下假设是拓扑空间．定理2.2.1．（闭集的性质）(1)是闭集；　　　　　　(2)有限个闭集之并是闭集；　　　　　　(3)任意多个闭集之交是闭集．定理2.2.2．(1)是A的最大开子集；A为开集．(2)是包含A的最小闭集；A为闭集．(3)A为闭集．(4)．(5)．(6)为度量空间，则为闭集中取极限运算封闭．(7)A

6、为度量空间X中闭集若．选证：(1)记为A的全体开子集所成之集族．则，于是是开集，且是A的最大开子集．故A为开集．(3)若A为闭集，则为开集，且．由聚点定义，，即，．反之，设，则，故存在x的某个邻域G，满足，，即，说明x是的内点，是开集，A是闭集．(6)设点列，．若有无穷多项互异，则；否则．从而总有．由(2)得证．例1.；．由于不成立，E不是闭集．例2.，．则；．；．例3.证明的导集是闭集．证：需要证是开集．不是A的聚点，存在x的邻域，中不存在异于x的A中的点，故中的每个点均不是A的聚点．于是，是开集．定理2.2.3．非空开集，有．证：设．若开集G

7、满足．则为闭)．由Th2.2.2.(2)得，于是，．反之，由于为开集，由条件，，得．定理2.2.4．(疏朗集的三种等价描述)(1)；　　　　　　　　　　　　　　　(2)非空开集；(3)非空开集G，必含有非空开子集，满足．证：(1)(2)．若开集G满足，则，于是．(2)成立．(2)(3)．非空开集G，令为G的非空开子集，且．(3)(1)．反证法．假设，由(3)，存在非空开集，满足，即(闭集)，，(开集)，从而()．矛盾．　（错）定理2.2.5．在度量空间中，完全有界集是有界的可分集．证：设为完全有界集，存在X中有限多个球，使．固定，记．，故，即，A

8、有界．对于，存在有限多个以A中点为中心的球，使．记，则D是A的至多可数子集．．于是，，D在A中稠密，A为可分集．定理2.2.6．在度量空