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1、点集拓扑拓扑是英文Topology的译音，Topology一词有时是指拓扑，有时是指研究有关拓扑的整个学科.拓扑学是数学的一个重要分支.起初它是几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形上保持不变的性质，后来发展为研究连续性现象的数学分支.拓扑学发展到近代形成了互相联系的几个分支.即一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学与几何拓扑学等.目前，拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学以及邻近科学的许多领域中，并且有了日益重要的应用.研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科，称为一般拓扑学，也称为点集拓
2、扑学，它是拓扑学的基础.本部分介绍一般拓扑学的基本内容，并为进一步学习有关其它课程提供必要的基础知识.第1章拓扑空间拓扑空间的概念产生于对实直线、欧氏空间以及这些空间上的连续函数的研究，是欧氏空间的一种推广.本章介绍拓扑空间的概念，给出与拓扑空间相关的一些重要的拓扑概念的定义，以及它们的性质.§1.1拓扑空间，拓扑的基与子基拓扑空间的定义有多种等价形式.这里采用比较简洁也是目前最为流行的方式给出拓扑空间的定义.定义1.1.1设是非空集,TP()即T是集合的子集族），若满足：（1）T；（2）T的任意多个元素
3、的并属于T；（3）T的有限元素的交属于T，则称T为集合上的一个拓扑或拓扑结构，偶对(,T)称为拓扑空间（当拓扑自明而无需指明时，简称为拓扑空间）.简称为空间，称为拓扑空间(,T)的基础集，T的元素称为(,T)的开集或T–开集,的元素,子集分别59称为拓扑空间(,T)的点，点集.定义1.1.1中的条件（1），（2）与（3）称为开集公理.例1设是非空集，T，则T是集合上的拓扑，称为集合上的平凡拓扑，（,T)称为平凡拓扑空间.例2设，T，则T是集合上的拓扑，集合上赋予这一拓扑的拓扑空间，称为Sierpinski
4、（西尔宾斯基）空间.例3设是非空集，TP（），则T是集合上的拓扑，称为集合上的离散拓扑，拓扑空间（T，P（））称为离散空间.例4.设是非空集，令T＝是的有限子集，则T是集合上的拓扑，称为集合上的余有限拓扑，拓扑空间(,T)称为余有限拓扑空间.证明即证T满足定义1.1.1中三个条件.事实上，（1）由T的定义可知T；若取,则是有限集.所以T.（2）设T.若或,则T;若,则都是有限集.于是是有限集，所以T.（3）设对于任意T,其中为指标集.若对于任意,则T;若存在使得,则.但是有限集，所以T.综上所证.可知T是
5、集合上的拓扑.例5设,T＝,T＝,T＝,则T，T都是集合上的拓扑.于是T与T都是拓扑空间.因为是T开集，但不是T开集，所以T与T是两个不同的拓扑空间，虽然它们的基础集相同.由于T ，T ，于是T 不满足定义1.1.159中条件（2），所以T 不是集合上的拓扑.定义1.1.2 设T，T是集合上的两个拓扑.若TT， 则称拓扑T小于（或粗于）T，并且称拓扑T大于（或细于）拓扑T.明显地，同一个非空集上可以赋予许多拓扑，这些拓扑依据集族的包含关系决定拓扑的粗、细或不可比较，其中平凡拓扑是最粗的，离散拓扑是
6、最细的.定义1.1.3 设(,T)是拓扑空间，BP.若BT ，并且T 的元素都可表示为B 中某些元素的并，则称B是拓扑T 的基，也称为拓扑空间(,T)的基或拓扑基，B中的元素称为基开集.例6 设(,T)是任意 拓扑空间，则T 就是它的基.例7 设是非空集，令B ＝,则B是集合上的离散拓扑的基.定理1.1.4 设(,T)是拓扑空间，BT ，则下列条件等价：（1）B是拓扑T 的基；（2）对于任意T,任意,存在B,使得.证明 .对于T ,因为B是T 的基，从而，其中B.所以对于任意存在，使得..任取T, 因为对
7、于任意存在B ，使得，于是.又BT .所以B是T 的基.定理1.1.5 设B是非空集的一个子集族，则B是集合上的某一拓扑的基当且仅当B满足下列条件；（1）;（2）对于任意B,可表示为B中元素的并.若B满足上述两个条件，则集合上以B为基的拓扑是唯一的，此拓扑称为以B 为基生成的集合上的拓扑.证明 设B是集合上的某一拓扑T的基，则由拓扑基的定义可知.（1）;（2）对于任意B ，因为BT ，于是T.所以59可表示为B中元素的并.反之，记T＝可表示为B中元素的并，即T 是B中元素的一切任意并之族，则1）由条件（1
8、）可知T.因为B ，所以T;2)设T,则都可表示为B中元素的并，即与 .其中B.于是 .但从条件（2）可知是B中元素的并，从而也可表示为B中元素的并，所以T .3）设对于T ，则可表示为B中的并，于是也可表示为B中元素的并，所以T .综上可知，T 是集合上的拓扑，并且以B为基.若集合上另有拓扑T也以B为基，则T的元素都是B中元素的并.于是TT ；反之，若T,则可表示为B中元素的并.但是BT，T是集合上的拓扑，从而作为
