点集拓扑教案

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1、点集拓扑学教案为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》课程。按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版,北京:高等教育出版社,2003)第一至七章编写的教案。本科生授课64学时，教学内容与进度安排如下：章节本科生授课主要内容课时数备注拓扑学的起源1一朴素集合论21.1集合、映射与关系11.2无限集1二拓扑空间与连续映射21习题课时22.1度量空间与连续映射3不讲附录2.2拓扑空间与连续映射32.3邻域与邻域系2不讲定理2.3.32.4导集、闭集、闭包内部、边界3不讲例2.4.4,定理2.4.82.5

2、内部、边界2部分证明定理2.6.3，临域2.6基与子基2基及相关内容在5.1中介绍2.7拓扑空间中的序列2三子空间、有限积空间、商空间6习题课时13.1子空间23.2积空间23.3商空间1例3.3.3起不讲四连通性8习题课时14.1连通空间24.2连通性的某些简单应用14.3连通分支14.4局部连通空间24.5道路连通空间1道路连通分支不讲五有关可数性的公理6习题课时15.1第一与第二可数性公理215.2可分空间1.5定理5.2.1不讲5.3Lindeloff空间1.5六分离性公理8习题课时1.56.1T0,T1、H

3、ausdorff空间26.2正则、正规、T3,T4空间1.5例6.2.2讲部分Urysohn引理和Tietze扩张定不讲定理6.3.1,6.3.4的6.31理证明6.4完全正则空间,Tychonoff空间1分离性公理与子空间、积空间和6.51商空间6.6可度量化空间1定理6.6.1讲部分七紧致性10习题课时17.1紧致性3定理7.1.6讲部分引理7.3.2用分析中的结7.2紧致性与分离性公理1论nn维欧氏空间R中的紧致子7.30.5集7.4几种紧致性以及其间的关系1.57.5度量空间中的紧致性17.6局部紧致空间,仿

4、紧致空间1定理7.6.8不讲2第一章朴素集合论点集拓扑学(Point-setTopology)现称一般拓扑学(GeneralTopology),它的起源与出发点都是集合论.作为基本的点集拓扑学知识,所需的只是一些朴素集合论的预备知识.本章介绍本书中要用到的一些集合论内容,主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等.作为一教材,讲义对各部分内容均有较系统的论述,作为授课,我们只强调一些基本内容,而对已有过了解的知识不提或少提.记号:Z,Z+,R,Q分别表示整数集,正整数集,实数集和有理数集.教学重点：

5、集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理一.集合的运算c/幂集P(X),交∩、并∪、差－(补,余A,A).运算律:DeMorgan律:(1)A-(BC)(A-B)(A-C).(2)A-(BC)(A-B)(A-C)A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)利用集合的包含关系证明(1).类似可定义任意有限个集的交或并,如记nA1A2...An(A1...An1)AninAii1AiAi.规定0个集之并是,不用0个集之交.二.关系R是集合X的一个关系,即RXX(,x,y

6、)R记为xRy,称x与y是R相关的.R称为自反的,若xX,xRx;R称为对称的,若xRy,则yRx;R称为传递的,若xRy,yRz,则xRz.等价关系:自反、对称、传递的关系.如,Δ(X)={(x,x)

7、xX},恒同关系,它是等价关系;{(x,y)

8、x,yR,xy}，小于关系,它是传递的,但不是对称的、不是自反的.设R是X上等价关系,xX,x的R等价类或等价类[x]R或[x]为{y

9、XxRy},[x]R的元称为[x]的代表元;商集X/R{[x]Rx

10、X}.R定理1.4.1设R是非空集合X的等价

11、关系,则3(1)xX,x[x];R(2)yx,X，或者[x]R=[y]R,或者[x]R[y]R证(2).设z[x][y],则ZRx,zRy,于是[x][y]且[x][y],于是RRRRRR[x][y].RR三.映射函数：f:XY.像：AX,f(A){f(x

12、)xA}；原像：BY,f(B){xX

13、f(x)B}1满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射i、限制f、扩张、内X

14、A射iAXX

15、A:集合X,in,笛卡儿积inX1X2...Xn1

16、inXii1Xi{(x1,x2...xn)xiXi,in}到第i个坐标集Xi的投射p:XX定义为p(x)x,其中x(x,..,x).iii1n对等价关系R,集合X到商集X/R的自然投射p:XX/R定义为p(x)[x].R四.集族数列{x}{x},有标集族{A},指标集Γ,与{A}不同,可记有标集族nnnZ