实变函数课件中南大学第二章__点集.pdf

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1、《实变函数》教案第二章点集（总授课时数8学时）n教学目的：欧氏空间R上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集,闭集和Borel集,Cantor集等常见的集,为后面的学习打下基础.n本章要点由R上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集,闭集的定义.由开集生成一个-代数引入Borel集.Cantor集是一个重要的集,它有一些很特别的性质.应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容.本章难点Borel集、Cantor集的性质.授课时数8学时——

2、————————————————————————————n本章先介绍R中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集，并讨论了开集与闭集的性质及其构造.最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.§1度量空间，n维欧氏空间n教学目的1、深刻理解R中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型的点及点集中的作用.2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念，理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念.3、了解邻域的四条性质.本节要点度量空间的概念.本节难点度量空间的概念.授课时数2学时————

3、——————————————————————————一、度量空间定义1：设X为一非空集合，d：XXR为一映射，且满足（1）dxy(,)0，dxy(,)0xy（正定性）（2）dxydyx(,)(,)（对称性）（3）dxydxzdzy(,)(,)(,)（三角不等式）第1页（共11页）《实变函数》教案则称(,)Xd为度量空间.例1：nn2（1）欧氏空间(,)Rd,其中dxy(,)(xyii)i11xy（2）离散空间(,)Xd，其中dxy(,)0xy（3）C空间(C表示闭区间ab,上实值连续函数全体),其中ab,ab,dxy(,)

4、max

5、()xtyt()

6、atb二、邻域定义2：称集合{

7、(,)}PdPP为P的邻域，并记为UP(,).P称为邻域的中0000心，称为邻域的半径.在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为P的邻域，并记为0UP().0不难看出：点列{}P收敛于P的充分必要条件是对任意0，存在N，当m0mN时有：PUP().m0容易验证邻域具有下面的基本性质：1)PUP()；2)对于UP()和UP()，如果存在PUPUP()()，则存在1212UP()UPUP()()3123)对于Q(UP)，存在UQ()UP()；4)对于QP，存在UQ()和

8、UP()满足UQUP()()定义3：两个非空的点集AB,间的距离定义为dAB,inf,dPQPAQB,如果AB,中至少有一个是空集，则规定dAB,0；若BX，则记dABdAX,,显然，若AB，则dAB,0。第2页（共11页）《实变函数》教案定义4：一个非空的点集E的直径定义为：EdsupP,QPQE,当E时，规定0。显然，EE0至多只有一个元素。若E，则称E为有界集。定义5：称X,,,

9、XXXA,1i,2,,n为集合A的直积，记为12niiinX12

10、XXn或Aii1nn定义6：若IIi，其中Iiiab,i为直线上的区间，则称I为n维欧氏空间Ri1中的区间；如果所有I都是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间，则称I是开(闭、左开右闭、in左闭右开)区间。如果所有的I都是直线上的有界区间，则称I是R中的有界区间；如果至in少有一个I是直线上的无界区间，则称I是R中的无界区间.i23n注：R中的有界区间即矩形，R中的区间即长方体，因此R中的区间有时也称为“长方体”.显然，E为有界集的充要条件是存在有界区间IE或E为有界集的充要条件是存在有界邻域EU(,)x00nniiiiii定义7：II,Ia

11、b,,称I()ba为区间I的“体积”，即i1i1niII.当然，这里约定000，当aaa0时，.i1123注：R中的区间体积即区间的长度，R中的区间体积即矩形面积＝长×宽，R中的n区间体积即长方体体积＝长×宽×高，因此规定R中的区间体积＝n个边长的乘积，既是合理的又是自然.§2、聚点、内点、界点教学目的1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系.2、理解并掌握开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念，对一个已知的点集E，会求这些相关的点集.第3页（共11页