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1、費馬最後定理費馬PierredeFermat (1601-1665)法國人律師，1631年出任圖盧茲議院顧問。業餘研究數學他是幾何學、坐標幾何、概率論、微積分、數論等學問的先驅。大約1637年，當費馬閱讀古希臘名著《算術》時，在書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話：Cubumauteminduoscubos,autquadratoquadratuminduosquadratoquadratos,etgeneraliternullamininfintumultraquadratumpotestateminduosejusdemnominisf
2、asestdividere:cujusreidemonstrationemmirabilemsanedetexi.Hancmarginisexguitasnoncaperet.大約1637年，當費馬閱讀古希臘名著《算術》時，在書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話：將一個立方數分成兩個立方數，一個四次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不可能的。我對這個命題有一個美妙的證明，這裏空白太小，寫不下。費馬最後定理當整數n>2時， 方程xn+yn=zn無正整數解。勾股定理及勾股數組勾股定理在ABC中，若C為直角
3、，則a2+b2=c2。留意：32+42=52;52+122=132; 82+152=172;72+242=252;……等等即(3,4,5)、(5,12,13)…等等為方程x2+y2=z2的正整數解。我們稱以上的整數解為「勾股數組」。勾股數組的通解《算術》第II卷命題8：將一個平方數分為兩個平方數。即求方程x2+y2=z2的正整數解。費馬利用他發明的「無窮遞降法」來解此題，得到以下結果：若HCF(x,y)=1，y為偶數，則x=u2-v2;y=2uv;z=u2+v2；這裡u>v>0，HCF(u,v)=1，u、v奇偶性相反。勾股數組求方程x2+y2
4、=z2的正整數解。解x=u2-v2;y=2uv;z=u2+v2，其中u>v>0。費馬提出：那麼當n>2時，方程xn+yn=zn又有沒有整數解呢？費馬的「解答」將一個立方數分成兩個立方數，一個四次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不可能的。我對這個命題有一個美妙的證明，這裏空白太小，寫不下。但，費馬從未向其他人提及這個「美妙證明」，亦沒有任何紀錄提及這件事！到底費馬的說法是否正確呢？「費馬最後定理」名稱的確立甚麼叫「定理」？曾經被證實為正確無誤的數學命題。既然費馬的命題又未被證明為正確，為甚麼又叫做「定理」呢
5、？因為經過300多年，都沒有人能作出反例，所以人們相信是它是正確的，是一個定理。費馬提出這命題後30年才去世，為甚麼會叫這命題做「最後定理」呢？因為費馬曾經提出過的命題，都已經被證實或否定，祇剩下這「最後」一題，未能獲證。n=4的證明費馬在給朋友的信中，曾經提及他已證明了n=4的情況。但沒有寫出詳細的證明步驟。1674年，貝西在的少量提示下，給出這個情形的證明。證明步驟主要使用了「無窮遞降法」。定理方程x4+y4=z2沒有正整數解。解假設(x,y,z)為一個解並且HCF(x,y)=1，y為偶數，則x2=a2-b2;y2=2ab;z=a2+b2
6、，其中a>b>0， HCF(a,b)=1，a、b的奇偶性相反。由於x2=a2-b2是奇數，得a必定是奇數，b必定是偶數。另外，亦得x2+b2=a2，再從此得x=c2-d2;b=2cd;a=c2+d2，其中c>d>0， HCF(c,d)=1，c、d的奇偶性相反。因而y2=2ab=4cd(c2+d2)，由此得c、d和c2+d2為平方數。費馬的證明換句話說，(e,f,g)為方程x4+y4=z2的另外一個解。但是，z=a2+b2=(c2+d2)2+4c2d2>g4>g>0。即是說如果我們從一個z值出發，必定可以找到一個更小的數值g使它仍然滿足方程x4
7、+y4=z2。如此類推，我們可以找到一個比g更小的數值，同時滿足上式。但是，這是不可能的！因為z為一有限值，這個數值不能無窮地遞降下去！由此可知我們最初的假設不正確。所以，方程x4+y4=z2沒有正整數解。（證畢）推論方程x4+y4=z4沒有正整數解。解假如(x,y,z)為該方程的解，則(x,y,z2)將會是方程x4+y4=z2的解。這是不可能的！（證畢）於是可設c=e2;d=f2;c2+d2=g2，即e4+f4=g2。一個推論可以斷言：對於任何正整數k，方程x4k+y4k=z4k沒有正整數解。如果方程有解，例如：a4k+b4k=c4k，則(
8、ak)4+(bk)4=(ck)4，但這與費馬的結果矛盾！原方程沒有解。同樣道理，以後祇須證明對於奇質數p，方程xp+yp=zp沒有正整數解。再進一步瑞士人。18世
