大学课件概率论 第七章参数估计2.pptx

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1、估计量优劣性的评价标准:无偏性、有效性、相合性、充分性与完备性*无偏性无偏估计量：设是的估计量，如果则称是的无偏估计量。即无系统偏差例:设总体的数学期望E[X]=μ和方差Var[X]=σ2都存在，证明：样本均值修正样本方差分别是E[X]、Var[X]的无偏估计，证明：之前已经计算了样本均值和修正样本方差的期望这也是为何用修正样本方差，而非样本方差的原因有效性设是的无偏估计量，当样本容量n固定时，使达到最小的称为的有效估计.由于方差是度量随机变量η落在它的均值E[η]的邻域内的集中或分散程度的。所以一个好的估计量η，不仅应该是待估参数θ的无偏估计，而且应该有尽可能小的方差。

2、例如及（其中）都是E[X]的无偏估计，但比有效。首先算术平均≤平方平均其次一致最小方差无偏估计量要求无偏最有效定义：设总体X~FX(·,θ).若T0(X1,…Xn)为g(θ)的无偏估计量，且对g(θ)的任意无偏估计量T(X1,…Xn)，都有则称T0(X1,…Xn)为g(θ)的一致最小无偏估计量注意：没有普遍可行的构造办法我们不仅希望一个估计是无偏的，且具有较小的方差，有时还希望当样本容量无限增大时，即观察次数无限增多时，估计能在某种意义下越来越接近被估计的参数的真实值，这就是所谓一致性的要求。相合性定义注意：依概率收敛到真值可以证明：证明（1）（2）根据切比雪夫不等式（3

3、）证明很难，这里不介绍了补充例题例：试讨论这两个估计量的无偏性，有效性和相合性。有矩估计量和极大似然估计量无偏性利用顺序统计量的性质可得X(n)的密度函数为：需要了解X(n)的密度函数直接计算有：不是无偏估计量，只是渐近无偏估计量.但是无偏估计量.有效性现在分析的有效性这个例子中的极大似然估计更有效最后看两个估计量的相合性:之前证明过：样本均值是总体期望的相合估计量.故矩法估计量是相合估计量.极大似然估计量在一般情况下也有相合性，证明很复杂，我们这里就不给出了.相合性参数的区间估计点估计：如果构造一个统计量来作为参数的估计量，则称为参数的点估计。回忆：点估计总是有误差

4、的，但没有给出偏差的程度，引例设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，100），现随机抽取5只，用样本均值估计其平均寿命。测三组数据：均值第一组145515021370161014301473.4第二组140013901408151213901420第三组150015101460150514251480用样本均值来估计参数的值但范围有多大呢？取样本1，得到估计值1473.4是一个真实存在的确定的数，只是我们不知道确切的值取样本2，得到估计值1400取样本3，得到估计值1480随机变量的观测值在的真实值左右波动。区间估计的思想用来作为参数可能取值范围的估计，同时给出参数

5、落在随机区间中的概率，称为区间估计。构造两个统计量考虑U统计量：上例：要求有90%的把握判断落在之间求δ的选取解：点估计中，我们用估计。现在我们要精确了解估计的误差，需要考察统计量作为随机变量的分布。已经知道：方差已知，但是是一个未知参数，使用起来不方便。如何处理样本均值这一统计量？查表得有90%的把握成立注意：对于某个给定的观测值，上述不等式不是一定成立，但是有100组数据的话，其中应当有90个估计是成立的，即成立的可能为90%。先找正数ε，使得Φ(-ε)=1-Φ(ε)置信水平、置信区间设总体的分布中含有一个参数，对给定的（很小），如果由样本（X1，X2，…

6、，Xn）确定两个统计量1（X1，X2，…，Xn），2（X1，X2，…，Xn），使得P(1<<2)=1-，则称随机区间（1，2）为参数的置信度（或置信水平）为1-的置信区间。1——置信下限2——置信上限上例：为置信度为0.9（或直接写为1-0.1）的置信区间注意：1-只是一种记法，但是这种记法会简化计算定义区间估计的一般定义~几点说明2、参数的置信水平为1-的置信区间（1，2）表示该区间有100（1-）%的可能性包含总体参数的真值。3、不同的置信水平，参数的置信区间不同。4、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低；相反，置信水平越

7、大，估计越可靠，但精确度会降低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量，不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也高（1-大）。不降低可靠性的同时要缩小估计范围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。1、估计和估计g()并没有本质区别。分位数设X~f(n)（f为某种分布，n为有关的自由度），0<α<1，则称满足的数fα(n)为分布f(n)的α分位数（或分位点）查课本后面的表可得2分布，t分布，F分布的分位数。注意若X~2(n)分布，当n趋于无穷时，近似的服从N(0,1)，故当自由度较大时，近似的有对于F(m,n)分