上海海事大学 概率论 第七章 参数估计(5-7)

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1、§5正态总体均值与方差的区间估计一.单个总体N(μ,σ2)的情况由例1，取枢轴量为：均值μ的区间估计~N(0,1)解得μ的1-α置信区间为：或对给定的置信度,确定分位数使例1从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（单位:cm）2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。设钉长分布为正态分布，若已知(cm),求总体期望值μ的90％置信区间.解:已知时,的置信度为1的置信区间为这里因方差未知

2、，取枢轴量为：对给定的置信度,确定分位数使即从中解得μ的1-α置信区间为：或：(续例1)(2)若未知,求总体μ的90％置信区间.解:未知时,的置信度为1的置信区间为这里方差σ2的区间估计xyσ2的1-α置信区间为：σ的1-α置信区间为：(续例1)求总体标准差s的95%置信区间.解:s的置信度为1的置信区间为这里s的置信度为95%的置信区间为二.两个总体的情况两个总体均值差的置信区间样本：的置信区间为：由对称性：解得置信区间为：例2为提高某一化学生产过程的得率，试图采用一种新的催化剂。为慎重起见

3、，在试验工厂先进行试验。设采用原来的催化剂进行了n1=8次试验，得到得率的平均值=91.73。样本方差s12=3.89;又采用新的催化剂进行了n2=8次试验，得到得率的平均值=93.75，样本方差s22=4.02。假设两总体都可认为服从正态分布，且方差相等，两样本独立。试求两总体均值差1-2的置信水平为0.95的置信区间。解：置信区间为：现在故所求的置信区间为：即2.两个总体方差比的置信区间解得置信区间为：例3研究由机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取机器A生产的管子18只，测得样本方差s12=0.

4、34(mm2)；抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差s22=0.29(mm2)。设两样本方差相互独立，且设由机器A，机器B生产的管子的内径分别服从正态分布N(1,12),N(2,22)，这里i,i（i=1,2）均未知。试求方差比12/22置信水平为0.90的置信区间。解：置信区间为：F/2(n1,n2)=F0.05(17,12)=2.59,n1=18,s12=0.34,n2=13,s22=0.29,=0.10,F1-/2(17,12)=F0.95(17,12)=1/F0.05(12

5、,17)=1/2.38§6(0-1)分布的区间估计上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限。例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了。这时，可将置信上限取为+∞，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间。§7单侧置信区间满足：设是一个待估参数，给定若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量引入单侧置信区间和置信限的定义：则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.称为单侧置信下限。又若统计量满足称为单侧置信上限。则称区间是的置信

6、水平为的单侧置信区间。由于方差未知，取枢轴量1.的单侧置信区间正态总体中未知参数的单侧置信区间对给定的置信水平，确定分位数使即于是得到的置信水平为的单侧置信区间为即的置信水平为的单侧置信下限为：设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均值的置信水平为0.95的单侧置信下限。例1从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命X（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差未知，取枢轴量解将样本值代入得的置信水平为0.95的单侧置信下限是：1065小时得的置信水平为的单侧置信下限为：2.的

7、单侧置信区间EX:求置信下限