高数考研基础班第二章导数与微分ppt课件.ppt

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1、第二章一、导数和微分的概念及应用二、导数和微分的求法导数与微分1一、导数和微分的概念及应用★导数：★微分:★可导与可微的概念：可导存在.可微其中A是与无关的常数.特点是：“分子一定一动，分母有左有右”分子是函数值之差，分母是相应的自变量之差，分母趋于零的极限.能2★导数与微分的区别与联系联系:区别：可从定义式子；实质；几何意义三方面考察.是函数相对于自变量的变化率.(dy是△y线性主部).3★可导与可微的区别与联系:区别：可从定义式子；几何意义两方面考察.可导存在.可导一定有切线且切线不垂直于x轴.以直代曲当很小时，在点M的附近，可用切线段近似地代替曲线段.可微联系：可微必可

2、导，可导必可微.可微其中A是与无关的常数.能4★几个定理定理1.定理2.定理3.在处可导在处连续在处的极限一定存在，即存在.在可微可微可导连续有极限有定义在点可微在点处可导5思考：6(1)利用导数定义解决的问题(2)用导数可求切线与法线的方程4）用导数定义求极限；2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题；1)利用导数的定义求函数在某点处的导数；用导数可求变速直线运动的速度与加速度5）判断函数在某一点的可导性.★应用:71)几何应用：★几何意义：是y=f(x)在点★切线、法线的方程：切线的方程：法线的方程：2)物理应用：瞬时速度：瞬

3、时加速度：处切线的斜率.8解:原式=题型1：已知导数求极限例1.910例2.设,讨论在处的可导性,并求解:不存在不连续，从而不可导.但是11解:原式=且联想到凑导数的定义式例3.12例4.解:题型2：已知极限求导数13处可导的一个充分条件是（）练习:14题型3：利用导数的定义求函数在某点的导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数1)求分段函数在分界点处的导数时；2)不符合求导法则的条件时；3)表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的用求导法则.例5.解:注意：可导可导=可导；可导不可导就不一定可导.注意：可导可导=可导；可导不可导就一定不可导.15例6.解:分析:不能用公式求

4、导.求左右极限16可导例7.解:注意：求导法则的成立是有条件的.17设解:因为又例8.注：判断可导性的方法不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.18解：思考：下列做法正确吗？19注意：20定理：故分段函数分界点处的导数必须用导数的定义求；非分界点处的导数用公式与法则求导.21例9.分析:又22解:方法1利用导数定义.方法2利用求导公式.例10.23例11证明：证明：定义法公式法题型4：利用导数的定义证明导函数的性质24思考：[05数一、二，4分]设F(x)的导数是f(x)，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数

5、.(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.f(x)是周期函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是单调函数.(D)F(x)是单调函数(A)25二、导数和微分的求法(微分法)1.正确使用导数及微分公式(16个)和法则(四则法则；锁链法则；反函数求导法则).2.熟练掌握求导方法和技巧:(1)求分段函数的导数;注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等.(2)隐函数求导法(直接法、微分法);(3)参数方程求导法(复合函数法、微商法);(5)复合函数求导法(可利用微分形式不变性);(6)高阶导数的求法(逐次求导归纳;间接求导法).(4)对数函数求导法(对多个因式的积商、乘方开方及幂指函数有用)

6、;263.常数和基本初等函数的导数及法则:★求导公式(16个):27★有限次四则运算的求导法则(有条件的):(C为常数)★反函数的求导法则：★复合函数求导法则(有条件的):★初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数.28(2)求法:直接法——逐阶求导法归纳法间接法——利用已知的高阶导数公式和法则.4.高阶导数的概念及求法公式：法则：(C为常数)记作：29说明：1.有以上公式与法则,我们就可以对任意初等函数求各阶2.求导时,应认清结构,是和差还是乘积,复合;是分段函数还是抽象函数,幂指函数,是隐函数还是参数方程等.3.求导时应认清谁是自变量,谁是函数.对哪一个变量求导.导数.初

7、等函数的各阶导数(若存在)仍为初等函数.4.应正确使用各种导数的符号.如301)基本初等函数的微分公式5.微分运算公式与法则311)微分的四则法则：设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)2)微分法则2)复合函数的微分法则：结论：无论u是自变量还是中间变量，形式总是这种特性称为一阶微分形式的不变性321)表示导数时能显示谁是函数谁是自变量,2)表示微分时有商的含义，故3)隐含着一阶微分形式的不变性.33解:关键:搞清函数的运算结构,对复合函数应由外向内逐层求导.求导次序：先加减