大学高数 第二章 导数与微分ppt课件.ppt

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1、第2章导数与微分1几个常见的概念区别22.1导数的概念2.2.1函数的变化率问题举例3解：1）先求平均速度42）再求瞬时速度52.1.2导数的定义及其几何意义1.导数的定义6关于导数定义的几点说明789102.函数可导的条件函数在点可导的充要条件是在该点的左右导数均存在且相等。11利用导数的定义求导数的一般步骤121314同理：153、导数的几何意义T由此可知特别地函数在某点可导与该点存在切线的关系为：可导必有切线，有切线未必可导。172.1.3函数连续性与可导性的关系1819202.2求导法则21222.2.1函数四则运

2、算的求导法则2324252.2.2反函数求导法则即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。26272.2.3复合函数求导法则即：复合函数对最底层自变量的导数等于最高层变量对中间变量的导数乘以中间变量对最底层自变量的导数。2829例:求下列函数的导数30312.2.4隐函数求导法32隐函数求导基本方法3334例14求椭圆在点处的切线方程.求导得：解：两端对自变量又点位于椭圆上，由导数的几何意义知：故所求切线方程为：即：所求切线的斜率为：352.2.5对数求导法36解：两边取对数得：两边对求导数得：即：解：设，则两边取自然对数得

3、：在则即：所以：392.2.6由参数方程确定的函数求导40例求椭圆在处的切线方程.解：因为所以故又当时，由点斜式得所求切线方程为：即：418、高阶导数例19，求解：44例20设求证：三、函数的微分1、微分的定义导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢的程度（变化率的大小），即：当时的极限.微分是讨论自变量发生了很小变化的情况下函数改变量本身的.46引例面积的改变量大小如图，正方形金属薄片受热发生变化其边长由变化到，问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的面积为，则是边长的函数薄片受热面积的改变量为：第一部分称为的线性部分，它表示

4、阴影面积，是主要部分；第二部分为的高阶无穷小（若），是次要部分.其中：故可以用第一部分近似代替面积的增量，即：称这个近似值为面积S的微分，记为492、函数可微与可导的关系50上式表明函数的微分等于该函数的导数与自变量微分的乘积.上式两边除以，得：★注意由微分定义可知，只要求出导数，微分也就求出来了，因此，求微分的问题，可归结为求导数的问题，故求导法又叫微分法.3、微分的几何意义函数在某点的微分等于曲线在该点切线的纵坐标的增量。4、微分的基本公式和运算法则所以根据函数的和、差、积、商的求导法则，得到函数的和、差、积、商的求微

5、分法则.571）微分基本公式58592）微分法则603）复合函数微分法则又因为于是所以若为自变量的复合函数：61解：例21设，求62解法一：解法二：先求导，再写出微分表达式例22设，求即：5、微分在近似求值中的应用③6465解：661.罗尔定理四、中值定理、罗彼塔法则（一）中值定理67几何解释68解692.拉格朗日中值定理70几何解释(如图)从上图可知:罗尔定理是该定理特例.71733、柯西中值定理74定理2.6(柯西中值定理)其实：拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例.75综上所述：三个中值定理有从特殊到一般的关系。罗尔定

6、理可视为拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又可视为柯西中值定理的特例，但同时柯西中值定理也可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式。因此，在应用中拉格朗日中值定理更为广泛．76（二）洛必达法则如：1、定理2.7若称此求函数极限的法则为洛必达法则．78更进一步地:解79解解80如:答案：181解83解84解注意：在利用罗彼塔法则的同时，也利用一些别的方法，如等价无穷小或重要极限等……，可使运算变得更简捷.85解86在使用洛必达法则求未定式的极限时，需要注意：1)每次使用都需检验是否满足洛必达法则的条件；2)随时化简，并注

7、意同其它求极限方法并用；五、利用导数研究函数的性态（一）函数的单调性如图：反之，则有如下定理：89定理2.8（函数单调性判别法）▲理解9091解92解93小结讨论函数单调性的步骤：A.求函数的定义域，找出无定义的点；B.求函数的导数，找出导数为零的点和不可导点；C.用这些点将定义域分成部分区间；D.在每一部分区间内讨论函数导数的正负，从而确定函数在该区间内的单调性.943395这是一种非常典型的题目，须掌握其方法.96(二）函数极值、最值97★理解依定义1）极值是一个局部概念，是函数局部范围内的最值，而不是区间或定义域内的

8、最值；2）极值不一定唯一；3）极值点可能是间断点，不可导点，或导数为零的点，但不可能为端点（如图）．98导数为零的点称为函数的驻点.此外，从图中还可以看出：在函数取得极值的点处，若有切线（可导）的话，该切线是水平的；但是，有水平切线的点未必是极值点，这就有：99100那么如何判断某点是否取得极值呢？10