考研数学高数资料—导数与微分

《考研数学高数资料—导数与微分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学■导数与微分知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。一、导数1＞函数在一点的导数（1）设函数/（劝在兀。的某邻域内有定义，给自变量X在兀处加上增量山，相应的得到因变量y的增量0=/（%0+山）-/（x0）.如果极限lim冬=lim他。+山）一/（和山toAx山toAx存在，则称函数在兀。处可导，该极限值称为函数在无处的导数，记作f（x0）o?'Uo）或芈Ir•导数的定义式还可以写成f（兀

2、°）=lim/（"）—兀兀）.dx_°xf®x-x0注：1）导数的几何意义：Ax0）表示曲线y=/（%）在点（x0,/（x0））处切线的斜率；2）导数的本质是极限，检验一个函数在一点是否可导或需要计算其导数时，最本质的方法就是计算极限lim皿+心）一/（如或"toAx2心x-x0（2）设函数/（兀）在勺的某左邻域内有定义，如果极限lim/%+心）一/Go）二］im/（劝-/（兀。）心t（fAv兀t坊x-x0存在，则称/（X）在X。处的左导数存在，该极限值称为函数/（兀）在勺处的左导数，记作£（兀0）・类似地，可以定义函数/（X）在如处的右导数£（%（））.注：函数/(x)

3、在x0的导数存在的充要条件是该点的左右导数存在且相等.【例1】：利用定义计算下列函数的导数.(1)f(x)=e(2)/(x)=Inx,(x>0).(3)/(x)=xn・(4)f(x)=xa.(5)f(x)=sinx.【例2】求下列函数/(x)的T(0)及力'(0),讨论/'(0)是否存在？⑴/(%)=

4、x

5、.fsinxx<0(2)/(x)=.[ln(l+x)x>0xj-KH0(3)/(x)=<]+石•0兀=()答案:(1)£，(0)=-l，X，(0)=l,广(0)不存在.(2)厂(0)=厂(0)=1,广(0)=1.(3).厂(0)=1,厂(0)=0,厂(0)不存在.2

6、、导函数(1)开区间内可导：如杲函数/(兀)在开区间(G,b)上每一点都可导，则称/(X)在开区间(Q,b)内可导.(1)闭区间上可导：如果函数/(力在开区间(d,b)上可导，且在x=d处存在右导数，在x=b处存在左导数，则称/(兀)在闭区间[a,切上可导.3、咼阶导数如果可导函数/（X）的导函数广（切仍然可导，则将它的导数称为原函数/（X）的二阶导数，记作几atAr类似地，可以递归地定义函数/（x）的n阶导数/（，，）（x）・4、可导与连续定理：设函数/（兀）在兀0的某邻域内有定义，如果/（兀）在兀0处可导，那么/（X）在兀0处必然连续.[exx>0【例3】：设/（%）

7、=~在兀=0处可导，试求d,b.[ax-^b,x<0答案：a=l,h=.ax+b,x<【例4】：设/（x）=J-（l+a+b）,x=l,讨论/⑴在x=l处的连续性与可导性.X1,x>答案：时，/（x）在x=1处不连续；a+b=l但。工2时，/（兀）在兀=1处连续但不可导；d=2,b=-l时，/（%）在兀=1处可导.兀2<

8、——X<1【例5】：设/（%）=,则/（兀）在兀=1处（）.兀.—X>13（A）左导数存在、右导数不存在（3）左导数不存在、右导数存在（C）左右导数均不存在（D）左右导数均存在答案：（A）.2•1八s1ri【例6】：设/（x）=7,计算f（兀）并

9、说明八兀）在无=0处不连续.0,x=0答案:/(x)=2xsin——cos—,xhOxx0,兀=0【例7】：设/（x）=,其中g（x）是有界函数，则/（Q在兀=0处（）.（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导答案：（D）.二微分K定义设函数/（x）在如的某邻域内有定义，当白变量尤在兀处有增量山时，如果因变量y的增量△，=/（XO+A¥）-/（XO）可以表示为英中A为只与兀。有关而与心无关的常数，。（心）表示心的高阶无穷小量，则称/（兀）在兀。处可微，并称AAx为/（x）在兀（）处的线性主要部分，也称为微分，记作dy[^或0（x）L“，即d

10、yx^=df（x）x^=AAx.2、可导与可微定理:设函数/（兀）在兀的某邻域内有定义，那么函数/（兀）在兀处可微与函数/⑴在兀处可导是等价的，也就是说：可微必可导，可导必可微.进一步地，我们还可以得到/（兀）在兀。处的微分dyx=x^=/*（x0）Ax.在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。