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《2016考研数学必背高数定理--导数与微分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、2016考研数学必背高数定理一导数与微分第二章导数与微分1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点X0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h->-O)[f(xO+h)-f(xO)J/h及右极限Um(h-+O)[f(xO+h)-f(xO)]/h都存在且相等，即左导数f-'(xO)右导数f+'(xO)存在相等。2、函数f(x)在点xO处可导=〉函数在该点处连续;函数f(x)在点xO处连续类〉在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。4、函数f(x)在点xO处可微=〉函数在该点
2、处可导;函数f(x)在点xO处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。第三章中值定理与导数的应用1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开E间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b),那么在开区间(a，b)内至少有一点4(a2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间La,bj上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点€(a3、定理(柯西屮值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间fa,川上连续，在开区间(a，b)内可导，且F’(x)在(a,b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少
3、有一点C，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(C)/F’(C)成立。4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、00/00、OXoo、oo_oo、0()、loo、<-0等形式。5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a,bl上连续，在开区间(a,b)內可导,那么:(1)如果在(a，b)內f’(x)〉0,那么函数f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f’⑻如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f’(x)
4、在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a,b)内有定义，xO是(a,b)內的一个点，如果存在着点xO的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点X，f(x)f(xO)均成立，就称f(xO)是函数f(X)的一个极小值。在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，闲数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在xO处可导，且在xO处取得极值，那么函数在xO的导数为零，即f(xO)=O.定理(函数収
5、得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在xO—个邻域内可导，且f(xO)=O,那么:(1)如果当x取xO左侧临近的值时，f’⑻恒为正;当x去xO右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么函数f(x)在xO处取得极大值;(2)如果当x取xO左侧临近的值时，f’(x)恒为负;当x去xO右侧临近的值时，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在xO处収得极小值;(3)如果当x取xO左右两侧临近的值时，f’(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x()处没有极值。定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在X0处具有二阶导数且f’(x0)=0，f’’(xO)关0那么:(1)当f"(x
6、0)0吋，函数f(x)在xO处取得极小值;驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间lx上连续，如果对任意W点xl,x2恒有fT(xl+x2)/21ff(xl)+f(x1)1/2,那么称f(x)在区间lx上图形是凸的。定理设函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么⑴若在(a，b)内f’’(x)〉0，则f(x)在闭区间［a,b］上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f’'(x)判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x);⑵令f’’(x)=0,解出这方程在区间(a，b)内的实根;⑶
7、对于(2)屮解出的每一个实根xO,检查f’’(x)在xO左右两侧邻近的符号，如果f’’U)在xO左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(xO,f(xO))是拐点，当两侧的符号相同时，点(xO,f(xO))不是拐点。在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。第六章定积分的应用求平而阁形的而积(曲线闱成的而积)直角坐标系下(含参数与不含参数)极坐标系下(r,0,x=rcos0,y=rsine)(扇形面积公式S=R20/2)旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面
