考研数学高数习题—微分中值定理

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2、T°glx~,-

3、罗尔定理及拉格朗日中值定理的有哪些，并说明理由。⑴g,(x)=/(

4、x

5、)⑵=(3)g3(x)=/(x3)⑷g4(x)=/(cosx)3、假设/(x)可导并且在x=x0处取极值，证明：广(兀。)^。。4、假设/(兀)在［a,切上连续,在(Q")上可导，H/(6Z)=/(/?),证明：乐(恥),使得广(§)=0。5、假设/(兀)在［0,1］上连续，在(0,1)上可导，且/(0)=0,/(1)=1,证明：日兵(0,1),使得.厂広)"。6、假设/⑴在［a,b］±连续，在(a,b)上可导，证明：日兵(a,b),使得•厂命b-a7、不用求出函数心"7(-2)(“3)(-4)

6、的导数，说明方程厂心°的实根个数并指明它们所在的区间。提示：斤次多项式至多有兀个不同的实根。8、设/(x)为定义在/?上的可导函数，且满足广(x)HO,xwR，证明：/(x)=0至多有一个实根。9、若函数/(兀)在[a,b]±.具有二阶导数，并且f(Q)=/(c)=/(Z?),其中aa，证明：ea(b-a)

7、arctanb-arctana7F11、证明恒等式:arctanex+arctane~x=—.参考答案1、（1）/（x）在区间［-1,1］

8、上不满足罗尔定理的条件，也不满足拉格朗日中值定理的条件。因为/（X）在兀=0处不可导。（2）/（兀）在区间［-1,1］上不满足罗尔定理的条件，也不满足拉格朗日屮值定理的条件。/⑴在兀=1处非左连续。（3）/（兀）在区间［-1,1］上不满足罗尔定理的条件，但满足拉格朗日中值定理的条件。因为/（兀）在［一1,1］±连续，在（—1,1）上可导，但/（-l）^/（l）o（4）/（%）在区间上同吋满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为/（切在区I'可［一1,1］上连续，在区间（一1,1）上可导，并且/（-l）=/（l）o2、（1）g

9、（Q在区间［-1,1］上不一定满足罗尔

10、定理的条件，也不一定满足拉格朗日中值定理的条件。因为『（国）在兀=0处不一定可导。（2）g2（x）在区间［-H］±同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为在«?2（兀）区间「［上连续，在区间/…、上可导，并且&2（-1）=心（1）。［-U］（-U）'（3）g3（x）在区间［-1,1］上不一定满足罗尔定理的条件，但一定满足拉格朗日中值定理的条件。因为&3（兀）在区间［一1，1］上连续，在区间（—1,1）上可导，但=/（-!）和g3（l）=/（l）不一定相等。（4）&（兀）在区间［-1,1］上同时满足拉格朗日屮值定理及罗尔定理的条件。因为&（兀）在区间［—1,1］

11、上连续，在区间（一1，1）上可导，并且/、別（一1）=乩⑴3、反证法假设广（兀）=a＞o‘羽＞°，使得*u°M有芈严＞°‘VXG（如,兀o+力）有/（兀）＞/（兀o）Vxg(x0-^,x0)有/(x)

12、实根,分别在区间(1,2)、(2,3)及(3,4)。8、提示：反证，假设/(%)=0有两个不同实根，再对/(x)运用罗尔定理。证明：假设/(x)=0有两个不同实根则有f(a)=/(历=0,又由/(兀)为定义在R上的可导函数知/(兀)在/?上连续，故由罗尔中值定理可知，必存在一点兵(a,b)使得f@)=0'与/*(x)^0,xgR矛盾,故假设不成立,即f(兀)=0至多有一个实根。9、提示：分别在区I'可［g,c］和［c,b］上运用一次罗尔定理，然后再［o,b］上再运用一次罗尔中值定理。证明：由函数兀兀)在［讪上具有二阶导数，可知/(兀)广⑴在［诃上连续、(询上可导