考研数学高数真题分类—中值定理

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1、点这里，看更多数学资料一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-中值定理知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。第三章中值定理综述：中值定理的证明一直是考研数学的难点.在考研数学一的考试中，这一部分的出题的频率比较稳定，一般两年出一道大题.从考试的情况来看，考生在这一部分普遍得分率不高.其主要原因是练习不够，不熟悉常见的思想方法，以及对证明题惯有的惧怕心理.其实这一部分的题目也是有一定套路的，只要掌握一些常见的证明思路，在大多数情况下就

2、都可以轻松应对了.本章需要用到的主要知识点有：闭区间上连续函数的性质（有界性、最值定理，介质定理），费马引理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和积分中值定理.根据题目的形式，我们将这一部分的题目分为了3种类型：中值定理的简单应用（直接能作出辅助函数的），复杂的中值定理证明（需要对等式变形才能作出辅助函数的），证明存在两点使得它们满足某种等式.常考题型一：对中值定理内容的考查1.【02—34分】设函数在闭区间上有定义，在开区间上可导，则（）当时，存在，使得对任何，有对时，存在，使存在，使.中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料点这里，看更多数学资料2.【04-34

3、分】设在上连续，且，则下列结论中错误的是()(A)至少存在一点，使得>.(B)至少存在一点，使得>.(C)至少存在一点，使得.(D)至少存在一点，使得=0.3．【96-25分】求函数在点处带拉格朗日型余项的阶泰勒展开式.4.【03-24分】的麦克劳林公式中项的系数是.常考题型二：闭区间上连续函数性质5.【02-36分】设函数在上连续，且.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点，使.常考题型三：罗尔定理的使用6.【08-24分】设，求的零点个数()01237.【07—12311分】设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，证明：存在，使得.8.【00—1236分】设函数在

4、上连续，且，.试证：在内至少存在两个不同的点，使得.9.【96—28分】设在区间上具有二阶导数，且中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料点这里，看更多数学资料试证明：存在和，使，及.10.【03—38分】设函数在上连续，在内可导，且.试证：必存在，使11.【10—310分】设函数在上连续,在内存在二阶导数,且,(I)证明存在,使;(II)证明存在,使．12.【93—36分】假设函数在上连续，在内二阶可导，过点的直线与曲线相交于点，其中，证明：在内至少存在一点，使【小结】：1.对命题为的证明，一般利用以下三种方法：（1）验证为的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马

5、定理可得证；（2）验证在包含于其内的区间上满足罗尔定理条件.（3）如果在某区间上存在个不同的零点，则在该区间内至少存在一个零点.2．证明零点唯一性的思路：利用单调性；反证法.4.证明函数在某区间上至少有两个零点的思路有：证明该函数的原函数在该区间上有三个零点；先证明至少有一个零点，再用反证法证明零点不是唯一的.（这些结论在证明题中不能直接应用，应用它们的时候需要写出证明过程，但记住它们对复杂一点的证明题是很好的思路提示.）中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料点这里，看更多数学资料4.费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明过程都是需要掌握的，它们不但是

6、直接的考点。所涉及的思想方法在中值定理的证明过程中也有重要应用。常考题型四：柯西中值定理的使用13.【03—210分】设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，若极限存在，证明：(1)在内;(2)在内存在点，使；(3)在内存在与(2)中相异的点，使14.【08-210分】(I)证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得；(II)若函数具有二阶导数，且满足，，则至少存在一点，.常考题型五：辅助函数的构造15.【09—12311分】（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且16.【98-126分】设

7、是区间上的任一非负连续函数.(1)试证存在,使得在区间上以为高的矩形面积,等于在区间上以为曲边的梯形面积.中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料点这里，看更多数学资料(2)又设在区间内可导,且证明(1)中的是唯一的.17.【13—310分】设函数在上可导，，证明（1）存在，使得（2）对（1）中的，存在使得18.【95—18分】假设函数和在上存在二阶导数，并且，，试证：（1）在开区间内，；（2）在开区间内至少存在一点，使.19.【96—36分】设在区间上可微